Математика для економістів Заоч. 2010 ч

а)	xdx	.; б)	x (arctgx)4	dx.; в)	2x	3	6x2	7x	dx.
	cos2 x		1 x2		(x		2)(x	1)3

12. Знайти визначені інтеграли

	/ 2	x cos x sin x		2		1 arcsin x
	а)		dx.; б) x 1 cosxdx ; в)								dx .
		(x sin x)2
						0 1 x			2
	/ 4		0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

y x 2 2x 1, x 2, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,7 ln 2 9

3,7 x 5

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а) 3(x2 y y)dy

2 y 2 dx 0. ; б) xy 4 x2

y 2

y. ;

в) y

y

ln x

, y(1) 1. ; г)

2(3xy2

2x3 )dx

3(2x 2 y

y 2 )dy

0.

x

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

6 y

9 y

3x

1.

17. Обчислити:

(9x2 y 2

25x4 y 4 )dxdy; D : x

x3 , y

3

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

4n 1

n2

5

.

n 2

(n

1)!

1

n

1

n

1

а)

n 2

; б)

. ; в)

( 1)

ln 1

.

n2

n 1 2n

n

n

1

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x 1)n .

n

2 ln n

2

n 1

20. Нарощена сума склала 20 тис. грн. , відсоткова ставка - 6% річних. Строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за складними відсотками.

Варіант № 29

І семестр

1. Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

5x 4 y	3z	19,
y	7,
y	z	5.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 2 4

0 3 0 .

2 2 7

3. 1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,3, 6),

B(9,3,6),

C(12,3,3).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (2, 4, 3),

A2 (5, 6,0),

A3 ( 1,3, 3),

A4 ( 10, 8,7).

4. Прибуток від продажу 20 одиниць деякого товару становить 60 грн., 100 од. – 200 грн. Визначити прибуток від продажу 450 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (7,2,2), В (5,7,7), С (2,3,1).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)3

а) lim

. ; б)

limn(

n4

3

n4

2) ;

n

3

1

n

n

2n2

2n 3

3n2 7

x2

в) lim

. ; г) lim

1

.; д)

lim

x

2

.

2n2

2n 1

2x2

x 1

n

x 1

x 4 3 x2

16

7. Продиференціювати вказані функції:

а) y	x	1	e x2 ; б)	x	arctgt			; в) x4	4x3 y3 y2 x 0.
				y	ln 1	t	2
	x	1

8.	Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:
	y	x2	6x	9		.
		(x	1)2
9.	Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:
	a) lg103		, б)	2705 .

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних: z x y на трикутнику з вершинами А (0,0) В (0,1) С (1,0).

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а)	xdx	. ; б)	x3		dx.; в)	x3	6x2 10x 52	dx.
	sin2 x		x2	1		(x	2)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

1	x3	x	1		xdx			2	dx
а)			dx. ; б)				; в)			.
	x4	1							x ln2 x
					3 2x
0			3					1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

yx3 , y x.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

5,2	ln x 2	4		dx .
4,2	x	7

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

						y 2		y
		2xdx	ydy yx2 dy xy2 dx. ; б) 3y				10		10. ;
а)						x2		x
в) y 3x2 y		x2 (1	x3 )	, y(0) 0. ; д) (3x3 6x 2 y	3xy2 )dx			(2x3 3x 2 y)dy 0.
		3

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 13y 12y 18x 2 39.

17. Обчислити:

(54x2 y 2 150x4 y 4 )dxdy; D : x 1, y x2 , y
	3 x (x 0).

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n!3

n

. ; б)

n3n 2

1

1

а) n 1 3n

2

. ; в)

( 1)n sin

tg

.

n

1 5n

n 1

n

n

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

2)n

.

n

n 1 2n

1 3

20. Надано споживчий кредит величиною 10000 грн. під 25% річних. Якою буде сума разового погашувального платежу, якщо планується сплачувати борг протягом одного року щомісяця?

Варіант № 30

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	x	z	16,
8x	5y	6z	31,
x	2 y	2z	14.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 4 2

2 5 2 .

0 0 9

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,3, 1),

B(5,1, 2),

C(4,1, 3).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1, 1,2),

A2 (2,1,2),

A3 (1,1,4),

A4 (6, 3,8).

4. Витрати виробництва 20 одиниць деякого товару складають 100 грн., а 300

одиниць – 500 грн. Визначити витрати виробництва 100 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (6,5,4), В (10,5,5), С (5,6,8).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n

2)2

(n 2)2

а)

. ; б) lim

n3

n3

2) ;

lim

n(n

1)(n 2)(

3

(n

3)

2

n

n

n 5

n / 6

1

x3

7x2

15x 9

в) lim

.; г) lim

. ; д)

lim

10 x

6

1 x

.

n 7

x3

8x2

n

x

3

21x 18

x 8

2

3 x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) y

ln 2x arctg 2 x

ln ln x ;

б)

x

et

; в) e x y

e y x

y 3

10 0 .

y

sin t

cost

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x3

27x

54

.

x3

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення: a) log3 82 , б) y 3 217 .

10.Розв'язати задачу: заданий трикутник з вершинами А(0;1), В(3;4), С(5;2). У

площині трикутника знайти точку, для якої сума квадратів відстаней до його вершин буде найменшою.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) x sin2 xdx. ; б)	(arcsin x)2		1	dx. ; в)	x3	6x2	13x 6	dx.
					(x	2)(x	2)3
		1 x 2

12. Знайти визначені інтеграли

							2		5
3				xdx							dx
а)						.; б) x2 cos 2xdx ; в)							.
				x 4 x 2 1					1 5 x 5 3
2						0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Оу):

yarccosx, y arcsin x, x 0.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

	5,5ln x 2			9	dx .
	4,5		x	2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а) 2x 2xy2

2 x2 y 0. ; б) xy 4 2x2

y 2 y. ;

в) y

y cosx

sin 2x, y(0)

1.; г)

xy2 dx y(x 2

y 2 )dy 0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

y

12x

6.

17. Обчислити:

9x5 y5 )dxdy; D : x

3

x2 (x

(xy

1, y

x, y

0).

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n! 2n 1 !

.

3n

n

2

1

а) n 1

(3n)!

; б)

3

. ; в)

n

n

(

1)

1

cos

.

2n

1

n

n 2

n

1

19. Знайти область збіжності ряду:

n2

(x 3)n .

n4

1

2

n

1

20. Позичку у 20 тис. грн. надано під 18% річних простих на 2 роки. Визначити суму відсотків та суму кінцевого платежу. Якою буде сума кінцевого платежу, якщо через 6 місяців ставку зменшили до 16%?

6. ПІДСУМКОВИЙ КОНТРОЛЬ КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ СТУДЕНТІВ ПРИ

ПОТОЧНОМУ КОНТРОЛІ Оцінювання знань студентів здійснюється на основі результатів поточного,

підсумкового контролю (індивідуальне завдання) та іспиту за 100-бальною шкалою.

Розподіл балів, що присвоюються студентам, здійснюється в такому порядку:

1-й семестр:

			Модуль 1					Модуль 3	Сума
			(поточне тестування)
Змістовий			Змістовий	Змістовий модуль 3				ДКР №1
модуль 1			модуль 2
									100
20			20	20			40
Т1-Т4			Т5-Т8	Т9-Т11
2-й семестр:
	Модуль 1			Модуль 3
(поточне тестування)
						Сума
Змістовий			Змістовий	ДКР №2
модуль 4			модуль 5
30		30		40		100
Т12-Т13			Т14-Т15

Іспит:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сума
завдання
Кількість	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	100
балів

Переведення даних 100-бальної шкали оцінювання в національну шкалу та шкалу за системою ECTS здійснюється в такому порядку:

	Оцінка за	Оцінка при	Оцінка при
		підсумковому	підсумковому
	шкалою			Оцінка за шкалою ECTS
		контролі у формі	контролі у формі
	ВНЗ
		екзамену	заліку
	90-100	5 (відмінно)	Зараховано	А (відмінно)	Відмінне знання
					матеріалу лише з

				незначною кількістю
				помилок
				Вище середнього
80-89			В (дуже добре)	стандарту, але з
				деякими поширеними
	4 (добре)			помилками
				Загалом добрі знання,
70-79			С (добре)	але з помітними
				помилками
60-69			D (задовільно)	Пристойно, але із
				значними недоліками
	3 (задовільно)
50-59			Е (достатньо)	Відповідає
				мінімальним вимогам
	2 (незадовільно) з			Недостатньо:
				необхідно
	можливістю
21-49			FX	доопрацювати і
	повторного
				повторно скласти
	складання	Не зараховано
				залік чи екзамен
	2 (незадовільно)
0-20	з обов‟язковим		F
	повторним курсом

Кількість балів, яку може отримати студент протягом семестру, складається із кількості балів за поточне оцінювання (60 балів) та домашня контрольна робота (40 балів).

Загальна кількість балів визначається середньозваженою кількістю балів за 1-й та 2-й

семестри (максимальна – 100 балів в кожному семестрі) та кількістю балів, отриманих на іспиті (максимальна – 100 балів).

Поточне оцінювання знань студентів здійснюється за результатами:

Тестування на практичних заняттях – 60 балів;

Виконання домашньої контрольної роботи – 40 балів.

Розподіл балів за темами та видами роботи студентів здійснюється в такому

порядку:

№	Назва теми	Об’єкти контролю	Кількість
теми	та вид роботи		балів
	Модуль 1.ВИЩА МАТЕМАТИКА
	Змістовий модуль 1. Алгебра і аналітична геометрія
	Елементи теорії матриць
1	і визначників
	Практичне заняття	Результати тестування
	Загальна теорія систем		10
	лінійних алгебраїчних
2	рівнянь
	Практичне заняття	Результати тестування
	Елементи матричного		10
3	аналізу
	Практичне заняття	Результати тестування

	Елементи векторної
4	алгебри та аналітичної
	геометрії	Результати тестування
	Практичне заняття
Всього за змістовий модуль 1			20

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

5	Елементи теорії границь	Результати тестування
	Практичне заняття
	Диференціальне		10
	числення функції однієї
6
	змінної
		Результати тестування
	Практичне заняття
	Дослідження функцій та
7	побудова їх графіків	Результати тестування
	Практичне заняття		10
	Граничний
8	(маргінальний) аналіз	Результати тестування
	Практичне заняття
Всього за змістовий модуль 2			20

Змістовий модуль 3. Диференціальне числення функції багатьох змінних та його застосування в економіці

		Основні поняття функції
		багатьох змінних та їх
9		інтерпретація в
		економічній теорії	Результати тестування	10
		Практичне заняття
		Диференційованість
10		функцій багатьох
		змінних
			Результати тестування
		Практичне заняття
		Екстремум та умовний
11		екстремум функції		10
		багатьох змінних
			Результати тестування
		Практичне заняття
Всього за змістовий модуль 3				20
Всього за модуль 1				60
		Модуль 3. Індивідуальна робота
		ДКР	Розв‟язання прикладів	40
			індивідуального завдання
Всього за модуль 3				40
Всього за 1-й семестр				100
	Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві
			рівняння
12		Інтегральне числення
		Практичне заняття	Результати тестування	15

	Економічна динаміка та
	її моделювання:
13	диференціальні та
	різницеві рівняння
	Практичне заняття	Результати тестування	15
Всього за змістовий модуль 4			30
Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи фінансової
математики
	Ряди та їх застосування
14	Практичне заняття	Результати тестування	15
	Елементи фінансової
15	математики та
	математичної економіки
	Практичне заняття	Результати тестування	15
Всього за змістовий модуль 5			30
Всього за модуль 1			60
	Модуль 3. Індивідуальна робота
	ДКР	Розв‟язання прикладів	40
		індивідуального завдання
Всього за модуль 2			40
Всього за 2 -й семестр			100