u-lectures сопромат

11

или		или	или
а		б		в
А	А	HA HA	А	MA
RA		RA		RA
		г

Рис. 1.4 Основные типы связей

Уравнения равновесия для нахождения реактивных и внутренних усилий. Внутренние усилия и метод сечений

Внутренние силы представляют собой результат взаимодействия структурных частиц тела, обеспечивающих его целостность. Под действием внешних сил происходит изменение взаимного расположения частиц, т.е. тело деформируется. При этом возникают дополнительные внутренние силы, которые отра-

жают сопротивление материала деформированию и разрушению. В курсе СМ принимают во внимание и определяют внутренние силы, которые возникают при нагружении тела внешними силами. Для определения внутренних сил применяется метод сечений.

Пусть на брус действует система взаимно уравновешенных внешних сил F1, F2…Fn (1.5, а). Для определения внутренних сил производят последовательно четыре операции:

1.Рассекают брус в интересующем месте воображаемой плоскостью на две части (рис. 1.5, б);

2.Отбрасывают мысленно одну из образовавшихся частей (например, I);

3.Заменяют действие отброшенной части I на оставшуюся II внутренними силами fi (рис. 1.5, б). При этом имеют в виду, что внутренние силы соглас-

но правилам теоретической механики могут быть приведены к центру тяже-

сти и, таким образом заменены главным вектором R и главным моментом М (рис.1.5, в). Каждый из этих двух статических эквивалентов внутренних сил можно представить в виде трех составляющих по осям выбранных координат x, y, z. Направляя ось z по нормали к сечению, и располагая оси x, y в его плоскости (рис.1.5, в), получаем следующие шесть составляющих: N, Qx ,Qy ,

Qz , M z , M x , M y , где:

12

N – продольная (нормальная) сила;

Qx ,Qy – поперечные силы вдоль осей х и у; M z – крутящий момент;

M x , M y – изгибающие моменты относительно осей х и у.

Эти компоненты главного вектора и главного момента называются внутрен-

ними силовыми факторами или усилиями (ВУ).

Mz

Рис. 1.5

4 Для определения внутренних усилий составляют уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части II :

∑Z =0 , ∑X =0, ∑Y = 0, ∑m z =0, ∑m x =0, ∑m y =0. (1.1)

Кроме проекций на соответствующую ось (или моментов относительно оси) всех внешних сил, приложенный к оставшейся (отсеченной) части, в каждое уравнение входит только одно неизвестное усилие.

Из этих шести уравнений получают следующие выражения для внутренних усилий:

13

N = ∑n	Z(Fi )отс.ч. ,		Qx = ∑n	X (Fi )отс.ч. ,		Qy = ∑n	Y (Fi )отс.ч. ;
i=1			i=1			i=1		(1.
M z = ∑n			M x = ∑n			M y = ∑n
		mz (Fi )отс.ч. ,			mx (Fi )отс.ч,			my (Fi )отс.ч.
i=1			i=1			i=1

Вычисляя внутренние усилия и моменты в сечении по формулам (1.2), следует иметь в виду:

–что продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) рассеченного бруса, на продольную ось z; Qx – то же на ось x; Qy – то же на ось y;

–крутящий момент M z численно равен алгебраической сумме моментов

всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) относительно оси бруса z; M x – то же относительно оси x; M y – то же относительно оси y.

Таким образом, метод сечений позволяет найти все внутренние усилия и моменты в любом сечении бруса при действии любой нагрузки.

Метод сечений является основным методом СМ. Чтобы лучше запомнить порядок действий, можно пользоваться правилом РОЗУ (аббревиатура из первых букв выделенных слов):

Р – разрезают; О – отбрасывают; З – заменяют;

У – уравновешивают.

Каждому из внутренних усилий соответствует простой вид сопротивления

(нагружения) бруса. Продольной силе N – растяжение или сжатие, попе-

речной силе Qx или Qy – сдвиг, крутящему моменту M z – кручение, а изгибающим моментам M x , M y – изгиб.

При различных комбинациях простых видов нагружений (сжатие с изгибом,

изгиб с кручением и др.) возникает сложное сопротивление (нагружение)

бруса.

Понятие о напряжении

В различных сечениях тела внутренние силы в общем случае отличаются по величине и неравномерно распределены по сечению, при этом они являются непрерывными функциями точек тела. Мерой распределения внутренних сил по сечению является напряжение.

Внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке, называ-

ется напряжением.

Рассмотрим отсеченную часть бруса. В окрестности точки К выделим элементарную площадку A, в пределах которой равнодействующая внутренних

14

сил равна R (некоторая часть главного вектора R ) (рис.1.6).

Рис. 1.6

Отношение

R

= p

представляет собой среднее напряжение на площадке

A

m

A . В пределе получаем

lim

R

= p

сила

,

A→0

A

площадь

где p –полное напряжение в точке K площади

А.

В системе СИ напряжение выражается в паскалях Па=Н/м2 или мегапа-

скалях МПа=106 Па.

Разложим вектор

R по осям координат на составляющие N , Qx , Qy

(рис. 1.5) и запишем выражения:

lim

N

=σz ,

lim

Qx

=τxz ,

lim

Qy

=τ yz ,

A

A→0

A→0

A

A→0

A

где σ z – нормальное напряжение; τxz и τ yz – касательные напряжения.

Тогда напряжение p можно рассматривать как полное напряжение в точке на данной площадке:

p = σ2z + τ2xz + τ2yz .

(1.3)

Но по разным направлениям площадок вблизи одной и той же точки напряжения будут иметь различные значения. Совокупность напряжений σ и τ , действующих по различным площадкам, проходящим через данную точку,

15

называется напряженным состоянием в этой точке. Вычисление напряже-

ний является основой расчетов на прочность.

Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями

Пусть в некоторой точке бесконечно малой площадки dA выявлены напряже-

ния σ z , τxz , τ yz (рис. 1.7).

Просуммировав напряжения по площадке dA , получим элементарные внутренние усилия:

dN=σz dA, dQ x =τxz dA, dQ y =τyx dA.

Рис.1.7

Запишем моменты этих сил относительно осей координат:

dM x =σzdAy; dM y =σzdAx; dM z =τxzdAy −τ yzdAx.

Просуммируем элементарные внутренние усилия и их моменты по площади сечения А:

N = ∫σz dA,	Qx = ∫τxz dA,	Qy = ∫τyz dA,
A	A	A	(1.4)
M x = ∫σz dA y; M y = ∫σz dA x; M z = ∫			(τxz y − τyz x)dA.
A	A	A

Выражения (1.4) называются интегральными уравнениями равновесия или

16

статическими уравнениями.

Записанные статические уравнения не позволяют определить напряжения σ и τ , пока не установлен закон их распределения по сечению.

Понятие о деформации и перемещении

Изменение формы и размеров тела в результате внешнего воздействия (нагрузка, температура и другое) называется деформацией.

Введем понятие линейной деформации как количественной меры изменения размеров в окрестности точки А. Проведем в недеформированном теле отрезок АВ длиной a (рис. 1.8). После деформации точки займут положение А1 и В1, и расстояние между ними станет ( a + a ).

Рис. 1.8

Векторы АА1 и ВВ1 – полные перемещения точек А и В.

a – абсолютная линейная деформация (линейное удлинение, линейное пе-

ремещение),

aa = ε – относительная линейная деформация или просто деформация.

	lim	a	= εAB .
		a
	a→0

Величина εAB – относительная линейная деформация в точке А по направле-

нию АВ (является малой, безразмерной величиной). Компоненты линейных деформаций в координатных осях обозначают – ε x , ε y , ε z ; компоненты

полного перемещения точки – u , ν , w .

Введем понятие угловой деформации. Изменение первоначально прямого угла ВАС (рис. 1.9) после приложения нагрузки, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию или относительный сдвиг γ.

	17
lim	( BAC − B1 A1C1 ) =γВАС ,
а→0,а1→0

γBAC – относительная угловая деформация в точке А в плоскости ВАС. Ком-

поненты угловой деформации обозначают γxy, γzy, γzx.

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки называется деформированным состоянием в этой точке.

Рис. 1.9

Определение деформаций связано с расчетом на жесткость и выяснением законов распределения напряжений в брусе при различных нагружениях. Различают простые деформации – растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб – и сложные, состоящие из двух и более простых деформаций.

В зависимости от свойств материала и величины нагрузок деформации бывают упругие – полностью исчезающие после удаления нагрузок, и пластические или остаточные – неисчезающие, остающиеся после прекращения действия нагрузок.

Основные допущения, гипотезы СМ

Реальным объектом являются сооружения, конструкции, технические системы, машины, механизмы, детали. Приступая к расчету конструкций (реальный объект), необходимо установить, что является важным и что несущественно, рассмотрев реальные свойства материала, геометрические параметры конструкции, условия эксплуатации и др. факторы. По этим трем основным направлениям проводится схематизация реального объекта и выбор расчетной схемы.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, с приложением действующих нагрузок носит название расчетной схемы.

В процессе перехода от реального объекта к расчетной схеме конструктор решает своеобразную задачу на «оптимум». То есть путем минимального отступления от реального объекта надо максимально приблизить расчетную

18

схему к эффективному теоретическому методу решения данной задачи. Для одного объекта может быть несколько расчетных схем. За основную расчетную схему принимается наиболее оптимальная с точки зрения реализации того или иного метода расчета.

При формировании расчётных схем в СМ реальные свойства конструкционных материалов, заменяются идеализированными свойствами деформирования с использованием допущений и гипотез.

1Допущение о сплошности материала. Считается, что материал непрерывно заполняет объем элемента конструкции. Теория дискретного строения вещества не принимается во внимание. Понятие «сплошная среда» дает возможность использовать аппарат высшей математики и, прежде всего, аппарат непрерывных функций, а значит, дифференциальное и интегральное исчисление, т.к. перемещения, деформации и напряжения являются непрерывными функциями координат внутренних точек тела.

2Допущение об однородности и изотропности. Свойство однородно-

сти означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Изотропным называется материал, у которого характеристики свойств одинаковы во всех направлениях. В противном случае его называют анизотропным (дерево, стеклопластики). Свойства материала одинаковы во всех точках, а в каждой точке - во всех направлениях.

3Допущение о малости деформаций (допущение об относительной жесткости материала). Предполагается, что деформации (изменение размеров и формы тела) малы по сравнению с размерами деформируемого тела. С допущением о малости деформаций тесно связан принцип начальных размеров: при составлении уравнений статики размеры элемента после нагружения считают такими же, как и до нагружения.

4Допущение об упругости и линейной деформируемости материала.

Упругость – свойство тела восстанавливать первоначальные размеры после снятия нагрузок. Тела предполагаются абсолютно упругими, при этом выполняется закон Гука, устанавливающий прямую пропорциональную зависимость между деформациями и нагрузками.

Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил является следствием двух последних допущений. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых

ктелу последовательно и в любом порядке.

19

Тема 1.2 Виды простого и сложного сопротивления

Под простым сопротивлением бруса деформированию понимают такие нагружения, при которых в поперечных сечениях элементов конструкций возникает один силовой фактор (растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб). Исключением является поперечный изгиб.

Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид де-

формации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила, обозначаемая N.

На растяжение работают тросы, линии высоковольтных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колоннах, поддерживающих перекрытия, в фабричной трубе, в кирпичной кладке от собственного веса. Например, растяжение возникает в тросе ВС подъемника (рис. 1.10). Элементы фермы (жесткой конструкции из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами) могут быть растянутыми и сжатыми.

Сдвиг – это такой случай нагружения, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q .

Рис.1.1
0	Q = ∫τdA.	(1.5)

A

Однородный чистый сдвиг можно получить нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки (рис. 1.11, а).

Рис. 1.11

Кручение – вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый M z или M к.

Кручению подвергаются валы двигателей, станков и машин, оси моторных вагонов и локомотивов, элементы пространственных конструкций.

Изгиб – вид деформирования бруса, при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент.

20

Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 1.12, а), поперечный изгиб – если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 1.12, б).

Рис. 1.12

Вреальных условиях элементы конструкций часто подвергаются воздействию различных комбинаций простых нагружений. Такие случаи называют

сложным сопротивлением.

Под сложным сопротивлением бруса деформированию понимают такие сочетания простых нагружений, когда в его сечениях одновременно возникают несколько внутренних силовых факторов.

Воснове расчетов на сложное сопротивление лежит принцип независимости действия сил, согласно которому напряжения и деформации, вызванные комбинацией силовых факторов, определяются как сумма (алгебраическая или геометрическая) напряжений и деформаций от каждого фактора в отдельности. Данный принцип применим во всех случаях, когда рассматриваются малые деформации в пределах справедливости закона Гука.

К основным видам сложного сопротивления относятся косой изгиб, внецен-

тренное сжатие (растяжение), изгиб с кручением.

Тема 1.3 Понятие о напряжённо-деформированном состоянии (НДС)

Тело нагружено системой внешних сил (рис. 1.13, а). Проведем сечение I–I через данную точку А.

Под действием системы внешних сил на элементарных площадках сечения I–I могут возникать:

Нормальные напряжения σ , если части тела 1 и 2 будут удаляться друг от друга;

Касательные напряжения τ , если части 1 и 2 будут сдвигаться друг относительно друга;