u-lectures сопромат

241

′′

M x

M y

M cosα

M sinα

,

=

+

=

+

σmax

Wx

Wy

Wx

Wx

6

Wx

h

Wx

где

=

= 6

Wy =

.

Wy

b

6

Тогда

M

M

σ''max =

(cos α + 6sin α)=

(0,998 + 0,05 6).

Wx

Wx

Или

σ ''

=1,31 σ '

=1,31 105 МПа.

max

max

Ответ: При косом изгибе напряжения σmax

больше, чем в случае прямого изгиба на 31%.

Рис.7.8

Тема 7.2 Внецентренное растяжение (сжатие)

Основные понятия и допущения. Практическая значимость расчетов при внецентренном растяжении (сжатии)

Внецентренное растяжение (сжатие) – случай сложного нагружения бруса,

когда линия действия растягивающей (сжимающей) силы F не совпадает с осью бруса, а имеет смещение – эксцентриситет (рис. 7.9).

Рис. 7.9

242

Такая задача часто встречается при расчете опор мостов и колонн зданий. Внецентренное сжатие испытывает колонна промышленного здания от веса подкрановой балки F (рис. 7.10, а), башня передвижного рельсового крана (рис. 7.10, б) – от веса крана G, находящегося в точке С.

Выводы данного подпункта базируются на следующих допущениях:

- брус имеет большую жесткость, т.е. соблюдается принцип начальных размеров;

- длина бруса невелика по сравнению с поперечными размерами, а потому при действии сжимающей силы потеря устойчивости невоз-

можна.

Рис.7.10

Нормальные напряжения при внецентренном сжатии

Пусть точка приложения силы F (силовая точка) имеет координаты xF и yF ,

отсчитанные относительно главных центральных осей инерции, см. рис. 7.11, а. Представим этот случай в виде простых нагружений, для чего в точке О приложим две равные и противоположные силы F ′ = F ′′ = F (рис. 7.11, б). Сила F′ вызывает осевое сжатие, а силы F и F ′′ – чистый изгиб с моментом M0 = F e, который можно разложить на составляющие M x и M y .

В произвольном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора

(рис. 7.11, в):

N = −F; M x = ±F yF ; M y = ±F xF .

(7.15)

Таким образом, внецентренное сжатие можно представить как сочетание центрального сжатия и чистого косого изгиба.

Из выражений (7.15) видно, что значение внутренних силовых факторов не зависит от положения сечения по длине бруса. Следовательно, для бруса по-

стоянного поперечного сечения все сечения равноопасны.

243

Рис. 7.11

Нормальные напряжения в поперечном сечении согласно принципу независимости действия сил находят так:

σ= σN + σM X + σMY .

Сучетом выражения (7.15) имеем формулу

σ =	N	+	M	x	y +	M y	x	(7.16)
	A					J y
			J x

где х и у – координаты исследуемой точки.

По формуле (7.16) можно установить напряжения в любой точке сечения, причем каждое слагаемое должно быть подставлено со своим знаком, определяемым по характеру деформирования бруса (рис. 7.11, в). Например, для точки К первое слагаемое в формуле (7.16) следует взять с «минусом», два других – с «плюсом».

Иногда строят пространственную эпюру напряжений, при этом вычисляют напряжения в угловых точках (рис. 7.11, г). Очевидно, что линия, проведенная через нулевые точки, является нейтральной. Опасными будут точки 1 и 3, наиболее удаленные от нее.

Преобразуем выражение (1.16), используя понятие радиусов инерции сечения:

244

ix =	J	x	A	;	iy =	J y	A	.
Отсюда
Jx = A ix2 ;					J y = A iy2 .

Подставляя формулы (1.15) и (1.17) в формулу (1.16), получаем

σ = −	F ±	F yF	y ±	F xF	x .
	A A ix2			A iy2

Окончательно имеем:

				yF y		xF x
	σ = ±	F 1	+		+		.
			2		2
		A		ix		iy

(7.17)

(7.18)

По формуле (7.18) можно определять напряжения в любой точке сечения при внецентренном растяжении и сжатии. Знак «минус» перед формулой используется в том случае, если нагрузка F – сжимающая (рис. 7.9, а), а знак «плюс»

– в том случае, если сила F – растягивающая (рис. 7.9, б). Координаты силовой точки ( xF и yF ) и исследуемой точки (х и у) следует подставлять с учетом знаков в системе координат.

Нейтральная линия при внецентренном сжатии

Для нахождения опасных точек сечения необходимо определить положение нейтральной линии (н.л). Приравняем к нулю правую часть выражения (7.18).

Поскольку F A ≠ 0, получим уравнение нейтральной линии:

	1 +	x F x	+	y F y	= 0 .
		i y2		i x2
					(7.19)

Приведем его к виду

		x		+	y		=1 .
	−	i y2			− ix2
			x F			y F

245

Это известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой в отрезках:

x + y =1. ax ay

Сопоставляя два последних уравнения, найдем координаты отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат (или уравнение нейтральной линии в отрезках):

		2		2
	ax = −	iy	; ay = −	ix	.	(7.20)
		xF		yF

В рассматриваемом случае xF > 0 и yF > 0, тогда из формул (7.20) следует, что координаты отрезков ax < 0 и ay < 0 (рис. 7.12, а, б).

Анализ формул (7.19) и (7.20) приводит к следующим выводам:

1)нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (точку О);

2)нейтральная линия и силовая точка расположены по разные стороны от центра О;

3)нейтральная линия, пересекая сечение, делит его на две области: в одной возникают деформации сжатия, в другой - растяжения. Опасными являются точки 1 и 3, наиболее удаленные от нейтральной оси: наибольшее сжимающее напряжение будет в точке 1, наибольшее растягивающее – в точке 3 (рис. 7.12);

Рис. 7.12

4) если сила F удаляется от центра тяжести (координаты xF и yF возраста-

ют), то нейтральная линия приближается к нему, оставаясь параллельной первоначальному своему положению (и наоборот);

246

5) если сила F приложена в точке на оси Ох ( yF = 0), то нейтральная линия не пересекает ось Oy, а параллельна, ей, т.к. координата отрезка ay =∞

(рис. 7.13):

ay = −	i	2	= −	i	2	= ∞;
	y			y
	y			0

F

Рис.7.13

6) если сила приложена в центре (координаты силы xF =0 и yF = 0), то по формулам (7.20) получаем, что ax = ∞ и ay =∞.

В этом случае имеем центральное сжатие с равномерным распределением

	сжимающих напряжений σ = −	F	по всему сечению.
		A

Ядро сечения

Ядро сечения – часть сечения вокруг центра тяжести, при расположении внутри которой продольной нагрузки в поперечных сечениях возникают напряжения одного знака.

Пусть сжимающая сила F проходит точки 1, 2, 3 (рис. 7.13), тогда нейтральная линия занимает положения I-I, II-II, III-III и т.д. Наступит момент, когда

нейтральная линия коснется контура сечения и займет, например, положение

II-II, которому соответствует силовая точка 2. При этом в сечении во всех точках будут сжимающие напряжения. Если силу передвинуть за точку 2, то нейтральная линия пройдет внутри контура сечения и разделит его на 2 части: сжатую и растянутую. Таким образом, точка 2 является граничной точкой, за которой нельзя располагать продольную силу, если необходимо исключить возникновение в поперечном сечении растягивающих напряжений. Точно так же на прямых ОВ и ОС можно определить точки, которые обладают теми же свойствами, что и точка 2 (рис. 7.13). Соединив данные точки, получим контур ядра сечения.

247

При проектировании колонн из материалов, имеющих низкое сопротивление растяжению (например, из чугуна, бетона, камня, кирпичной кладки), важно заранее знать размеры ядра сечения и его форму.

Для построения ядра сечения проводят несколько нейтральных линий, ка-

сательных к контуру сечения. По чертежу находят соответствующие координаты отрезков ax и ay , отсекаемых от осей координат, и по формулам, кото-

рые следуют из (7.20), определяют координаты граничных точек ядра сечения:

xF = −	iy2		yF = −	i2
		;		x	.	(7.21)
	ax			ay

Примеры построения ядра сечения

Прямоугольное сечение со сторонами b и h (рис. 7.14). Рассмотрим четыре положения касательной, совмещенной со сторонами прямоугольника.

Рис. 7.14

Для касательной I-I отрезки, отсекаемые на осях координат, равны ax = ∞ и ay = h/2. По формулам (7.21) имеем:

xF = −

iy2

= 0;

yF = −

i

2

= −

2 J

x

= −

2b h3

= −

h

.

x

∞

h

2

h A

12b h2

6

Откладываем на оси Оу отрезок (-b / 6); получаем точку 1 ядра сечения. Аналогично находится точка 3. Повторяя рассуждения по отношению к касательным II-II и IV-IV, находим для точек 2 и 4 координаты yF = 0; xF = ±b / 6. Со-

248

единив найденные точки прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба (рис. 7.14, а).

Для сечения в виде круга радиусом R ядро сечения очерчено по окружности радиусом r (рис. 7.14, б). Ввиду того, что круг симметричен относительно центра, достаточно рассмотреть одно положение касательной: ax = - R. Тогда

	xF = r =	J y	=	π R 4	=	R	.
		A R		4 π R 2 R		4

Для сечения, имеющего форму многоугольника, ядро сечения также будет многоугольником.

Порядок расчета на прочность при внецентренном сжатии. Условие прочности

1. Определяют положение центра тяжести сечения и положение главных центральных осей.

2. Вычисляют моменты J x ,J y и радиусы ix2 , iy2 инерции.

3. Определяют координаты силовой точки ( xF и yF ) относительно главных осей.

4.Находят положение нейтральной линии.

5.Находят опасные точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

6.Записывают условие прочности для опасных точек.

7.Проводят расчет на прочность для рассматриваемого бруса.

Для бруса из хрупкого материала расчет на прочность ведется для точек 1 и 3 (рис. 7.12).

Условия прочности имеют вид:

По допускаемым напряжениям:

σcmax =σ1

σ p max =σ3

По предельным состояниям:

F

x

x

y

y

≤[σ

] ;

= −

1

+

F 1

+

F 1

c

2

2

A

iy

ix

(7.22)

F

x

x

y

y

≤ σ

.

= −

1

+

F 3

+

F 3

2

2

p

A

iy

ix

249

F

x

x

y

y

≤ R γ

σ

с расч

=σ

1

= −

1

+

F 1

+

F 1

c

;

2

2

c

A

iy

ix

(7.23)

F

x

x

y

y

≤ R γ

σ

t расч

=σ

3

= −

1

+

F 3

+

F 3

c

.

2

2

t

A

iy

ix

Для расчета бруса из пластичного материала используется одно из условий (7.22) и (7.23), которое соответствует наиболее удаленной точке. В случае внецентренного растяжения перед формулами (7.22) и (7.23) следует взять знак «плюс».

Тема 7.3 Изгиб с кручением

Основные понятия

Совместное действие изгиба с кручением приходится учитывать при расчете валов машин и механизмов, а также осей трамвайных вагонов и моторных вагонов электропоезда. В строительной практике ему подвергаются элементы пространственных рам.

Силы, действующие на вал (давление на зубья шестерен, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов), вызывают в поперечных сечениях вала внутренние усилия: Qx и Qy ; M x и M y ; M z = MK. Таким образом, в сечении

одновременно возникают нормальные напряжения от изгиба в двух плоскостях и касательные от изгиба и кручения.

Влиянием касательных напряжений от поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как они значительно меньше касательных напряжений, вызванных кручением.

Порядок расчета вала круглого сечения:

1.Приводят все силы к оси вала.

2.Раскладывают силы на вертикальные и горизонтальные составляю-

щие.

3.Строят эпюры крутящих и изгибающих моментов M z , M x , и M y .

4.По эпюрам находят опасные сечения.

5.Записывают условие прочности для опасного сечения.

6.Проводят расчет на прочность.

Расчеты на прочность при совместном действии изгиба с кручением ведут с применением теорий прочности (тема 6.3).

При изучении изгиба с кручением можно выделить два этапа исследования: - определение опасного сечения бруса;

250

- нахождение опасной точки в нем и исследование напряженного состояния в этой точке.

-

Определение опасного сечения вала

На рис (7.15, а) показан вал, на вал насажены зубчатое колесо диаметром d1 и шкив ременной передачи диаметром d2. На зубчатое колесо действуют окружная Ft и радиальная Fr силы, на шкив – силы F1 и F2 натяжения ветвей ремня.

Рис.7.15

Для составления расчетной схемы вала (рис. 7.15, б) все силы приводят к его оси. Используя теорему о параллельном переносе силы, изученную в курсе теоретической механики, при переносе силы Ft к оси вала добавляют скручивающую пару m1 (рис. 7.15, в); аналогично при переносе сил F1 и F2 получается пара m2 (рис. 7.15, г). При равномерном вращении вала m1 = m2.

На основе расчетной схемы (рис. 7.15, б) определяют опорные реакции и строят эпюры моментов M z , M x и M y (рис. 7.15).

Брус круглого сечения, у которого все оси являются главными, испытывает прямой изгиб под действием полного изгибающего момента

M = M x2 + M y2 . Следовательно, опасным будет сечение, в котором одно-