u-lectures сопромат

231

Рис. 7.1

Плоский и сложный косой изгиб рассматривают как совокупность двух пря-

мых изгибов, для чего нагрузки, лежащие в продольных плоскостях, раскладывают на составляющие, расположенные в главных плоскостях xОz и yОz. В поперечных сечениях бруса в общем случае возникают 4 внутренних силовых фактора: Qx ,Qy , M x , M y . Проводя расчет на прочность при косом изгибе,

обычно пренебрегают влиянием касательных напряжений.

Примеры из инженерной практики

Брус обрешетки кровли (рис. 7.2, а) нагружен по схеме косого изгиба. Вертикальная нагрузка F от веса кровли и собственного веса обрешетки наклонена к главной оси у под некоторым углом α .

232

Рис.7.2

Уголок, заделанный одним концом в стену (рис. 7.2, б), также нагружен по схеме косого изгиба, так как главные оси сечения – x и y – наклонены под некоторым углом α к погонной нагрузке q (это вес 1-го метра уголка).

Подкрановая балка мостового крана (рис. 7.3, а) при торможении тележки с грузом испытывает косой изгиб вследствие отклонения груза G от вертикали на угол α (рис.7.3, б) .

Рис. 7.3

Нормальные напряжения при косом изгибе

Рассмотрим консольный брус, нагруженный силой F, направленной под углом α к главной оси Оу (рис. 7.4, а).

Разложим эту силу на составляющие Fx и Fy по главным осям поперечного сечения:

233

Рис. 7.4

Fx = F sinα; Fy = F cosα.

Каждая из этих составляющих вызывает прямой изгиб бруса: Fy – в плоскости zОy, Fx – в плоскости zОx. Изгибающие моменты в произвольном сечении бруса (рис.7.4, б) находятся так:

M x = Fy z = F z cosα = M cosα;

M y = Fx z = F z sinα = M sinα,

где M = M x 2 + M y 2 - полный изгибающий момент в плоскости действия си-

лы F.

Нормальные напряжения в сечении согласно принципу независимости действия сил определяются как сумма

σ =σM x +σM y .

С учетом (7.1)

σ =	M	x	y +	M y	x .	(7.2)
				J y
	J x

По формуле (7.2) определяются нормальные напряжения в любой точке сече-

ния при косом изгибе. Причем моменты M x и M y , а также координаты х и у

234

исследуемой точки подставляют по абсолютному значению, а знаки слагаемых напряжений устанавливают исходя из характера деформирования бруса. Так, Fy вызывает изгиб, при котором верхние волокна растянуты, нижние -

сжаты, а действие Fx вызывает растяжение волокон правой части и сжатие левой части сечения. Соответствующие знаки напряжений σM X и σM Y про-

ставлены в координатных четвертях сечения (рис. 7.4, а). Например, для точки К первое слагаемое в формуле (7.2) следует взять со знаком (+), а второе – со знаком (–).

В угловых точках сечения модули координат х и у имеют наибольшие значения, поэтому в них возникают максимальные напряжения:

σ	max	=	M x	+	M y	(7.3)
			W x		W y

Наибольшее растягивающее напряжение будет в точке 1, наибольшее сжимающее – в точке 3 (рис. 7.4, а), т.к. слагаемые в формуле (7.3) для этих точек имеют одинаковые знаки.

Преобразуем формулу (7.3):

M

x

M y

1

W

M пр

σ

max

=

+

=

M

x

+ M

y

x

=

,

Wx

Wy

Wx

Wx

Wy

где M пр – приведенный момент:

Mпр

= M x

+M y

Wx

(7.4)

Wy

Нейтральная линия при косом изгибе

Нейтральная линия является геометрическим местом точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Пусть текущие координаты одной из точек нейтральной линии (н.л.) будут х0 и у0. Тогда, применяя формулу (7.2), получим уравнение нейтральной линии:

σ =	M	x y	+	M y	x	= 0 .
		0		J y	0
	Jx

Откуда

235

−	y	0	=	J	x		M y		.	(7.5)
	x			J	y		M	x
	0

Данное уравнение является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Равенство (7.5) удовлетворяется тогда, когда знаки х0 и у0 различны. Следовательно, нейтральная линия пройдет через II и IV четверти (рис. 7.5,

а).

Обозначим через β угол наклона нейтральной линии к оси Ох; учитывая, что х0 и у0 имеют разные знаки (рис. 7.5, а), имеем

tg β = − y0 . x0

Рис. 7.5

С учетом этого перепишем выражение (7.5):

	tg β =	J	x		M y	.	(7.6)
		J y			M x
	Подставив в формулу (7.6) значения моментов из равенств (7.1),						получим

формулу для угла наклона нейтральной линии к оси Ох:

	tg β =	J x	tg α	(7.7)
		J y

Анализ формулы (7.7) позволяет сделать следующие выводы.

1. Если J x ≠ J y , то β ≠ α, следовательно, в отличие от прямого изгиба нейтральная линия при косом изгибе не перпендикулярна силовой линии.

236

Для сечений, у которых все центральные оси являются главными и моменты инерции равны J x = J y (круг, квадрат, правильный многоугольник и т.п.), из-

гиб всегда будет прямой. Расчет ведется по полному моменту

M= M x 2 + M y 2 .

2.Силовая и нейтральная линии при косом изгибе проходят через разные четверти сечения (рис. 7.5).

3.Углы α и β отсчитываются в одном направлении от осей Оу и Ох (в данном примере – по ходу часовой стрелки).

Расчеты на прочность при косом изгибе

Для расчета на прочность необходимо определить опасное сечение, а в нем – опасную точку, для которой записывается условие прочности.

Определение опасного сечения

При плоском косом изгибе (рис. 7.1, а) строят эпюру полного изгибающего момента М. По максимальному значению момента определяется положение опасного сечения. Для бруса (рис. 7.4, а, б) положение опасного сечения

очевидно без построения эпюры (в заделке Mmax= F ℓ, где ℓ −длина балки). В случае пространственного изгиба эпюры моментов строят в двух главных плоскостях (рис. 7.6). Обычно сечения с наибольшими значениями M x и M y

не совпадают. Поэтому по формуле (7.4) вычисляют приведенный момент Mпр для нескольких наиболее опасных сечений. Например, для сечения D :

M D	= M D + M D Wx		. Опасным будет то сечение, где М	пр	имеет наибольшее
пр	x	y Wy

значение.

Нахождение опасных точек

Для сечения произвольной формы определяют положение нейтральной линии по формуле (7.7). Затем проводят касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии (рис. 7.5, б). Опасными являются точки 1 и 3, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Для бруса из хрупких материалов, имеющих различное сопротивление растяжению и сжатию, составляют два условия прочности.

По допускаемых напряжениям:

237

σ

рmax

=

M x

y +

M y

x ≤ [σ

p

];

J x

1

J y

1

(7.8)

M

M y

σc max

=

x

y3

+

x3

≤[σc ],

J y

J y

где [σp ], [σc ] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рис. 7.6

По предельным состояниям:

σ

ррасч

=

Мх

y +

M y

x ≤ R γ

c

;

1

1

р

J x

J y

(7.9)

σ

c расч

=

M x

y

3

+

M y

x

≤ R γ

c

,

3

c

J x

J y

где Мх и Му – расчетные изгибающие моменты в опасном сечении; R

и R

c

–

р

расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие; γc – коэффициент условий работы.

238

При расчете бруса из пластичного материала (Rр = Rc = R) используется одно из условий (7.8) и (7.9), которое соответствует большему по абсолютному значению напряжению.

Для сечений с двумя осями симметрии и с выступающими углами (прямо-

угольник, двутавр, коробчатое сечение и т.п.) опасными будут угловые точки (рис. 7.5, а). Условия прочности согласно (7.3) запишутся в виде

σmax = M x + M y ≤[σ ] ; Wx Wy

(7.10)

σ расч = M x + M y ≤ R γc , Wx Wy

где [σ ] – допускаемое напряжение; R – расчетное сопротивление материала растяжению и сжатию при изгибе (например, для строительных конструкций устанавливается согласно СНиП II- 23-81* по величине предела текучести и имеет обозначение Rт ).

Для хрупкого материала опасной будет точка 1 (рис. 7.5, а), в которой возникает напряжение растяжения.

Расчеты на прочность

Проверочный расчет проводится по формулам (7.8 – 7.10).

Допускаемое значение нагрузки при известных размерах поперечного сечения находят из условий прочности (7.8 – 7.10).

Проектный расчет (подбор поперечного сечения) осуществить сложнее, т.к. в формулы входят две неизвестные характеристики Jx и Jy или Wx и Wy. В общем случае задаются размерами сечения и осуществляют проверку условий прочности. Если условие (7.9 или 7.10) не удовлетворяется, то размеры корректируют и проверяют снова.

Для простых сечений (прямоугольник, двутавр), задавшись отношением

n= Wx , пользуются формулой

Wy

σmax =	1	(M x + n M y )≤ R γc ,	(7.11)
	Wx

откуда с учетом (7.4) находят расчетное значение момента сопротивления

Wx ≥	M x + n M y	=	M пр	.	(7.12)
	R γc		R γc

239

Для прямоугольного сечения n = bh , где h и b – высота и ширина сечения. Для

прокатных двутавров n = 6 ÷ 14 (см. сортамент).

По найденному моменту сопротивления Wx с использованием сортамента

выбирают номер профиля и осуществляют проверку прочности по формуле

(7.10).

Прогибы при косом изгибе

Полный прогиб сечения (рис. 7.7) на основе принципа независимости действия сил, находят как геометрическую сумму прогибов в направлении главных осей по формуле

f = f x	2 + f y	2
		(7.13)

Прогибы fx и f y в направлении главных осей прямо пропорциональны со-

ставляющим Fx = F sin α и Fy = F cos α и обратно пропорциональны жесткости при изгибе:

	fx = K	F	; f y = K	Fy	,
		x
		E J y		E Jx

где К – коэффициент, зависящий от размеров балки и положения нагрузки (его значение находятся из универсального уравнения метода начальных параметров).

Обозначим через ϕ угол отклонения полного прогиба от главной оси Оy (рис. 7.7). Тогда

	tgϕ =	fx	=	K F sin α :	K F cosα .
		f y
				E J y	E J x

Окончательно с учетом (7.6) имеем

	tg ϕ =	J x	tg α = tg β,	(7.14)
		J y

то есть ϕ =β, следовательно:

1)направление полного прогиба f перпендикулярно нейтральной линии

ине совпадает с силовой линией (рис.7.7);

240

2) линия полного прогиба f отклоняется от силовой в сторону плоскости наименьшей жесткости. Чем больше разница между моментами инерции Jx и J y , тем больше отклонение.

Рис.7.7

Косой изгиб является наиболее опасной схемой нагружения для сечений, моменты инерции J x и J y которых значительно отличаются по величине, что

приводит к возникновению больших напряжений и прогибов.

Пример 7.1. Сравнить значения наибольших нормальных напряжений, возникающих при действии изгибающего момента М = 38,4 МН м в прямоугольном сечении бруса с отношением длин сторон h / b = 6, в двух случаях:

1)изгибающий момент М действует в главной плоскости zОy;

2)плоскость момента М составляет с плоскостью zОy угол α = 3o

(рис.7.8).

Решение

1. В первом случае брус испытывает прямой изгиб. Напряжения равны (формула 7.1):

σ'max

=

M

=

38 ,4 10 6

= 1 10

5

МПа ;

W x

384

10

− 6

Wx =

b h2

3

= 384 см

.

6

2. При α = 3° имеет место косой изгиб. Напряжение вычисляем по формуле (7.3) :