u-lectures сопромат

401

or

R 2

q

R1

ot,max

q o

t

Рис. 14.10. Эпюры напряжений для цилиндра при внешнем давлении

Эпюры окружных σt и σr напряжений показаны на рис. 14.10. Максимальное по абсолютной величине окружное напряжение имеет место при r=R1:

2qR2

|σt,max|= 2 . (14.36)

R22 − R12

Обращаясь к условию прочности, следует положить σ1=0, σ2=0, σ3= –|σt,max|. По гипотезе наибольших касательных напряжений

2qR2

σэ=σ1–σ3= 2 ≤[σ]. (14.37)

R22 − R12

Расчет составных цилиндров

Рассмотрим конструкцию, где цилиндр с радиусами R1 и R3, запрессован с натягом вовнутрь второго цилиндра. При этом внешний радиус второго цилиндра R2, а внутренний радиус меньше R3 на малую величину ∆ (рис. 14.11). Как показано на рис. 14.11, в и с, на внутренний цилиндр действует внешнее давление qk, а на внешний – внутренне давление той же величины. При этом сумма абсолютных величин перемещений в точках контакта составляет величину натяга ∆. Поскольку для внешнего цилиндра u2>0, а для внутреннего – u1<0, то

u2 – u1=∆.

(14.38)

402

R2

o	R3
r

qê

a)

ot,2

R1

ot,1

o

t

R3

R1

q ê

b)

R2

R3

q ê

c)

Рис. 14.11 Составной цилиндр

Заменяя в формуле (14.35) r и R2 на R3, находим:

u1= −	q R2		[(1 − μ)R +(1+μ)	R2	],	(14.39)
	k	3		1
	E(R2	− R2 )	3	R
	3	1		3

где qk – давление в зоне контакта цилиндров.

Для перемещений u2 точек контакта, принадлежащих внешнему цилиндру, надо применить формулу перемещений в случае внутреннего давления.

Итак, меняя в формуле (14.32) R1 и r на R3, получаем:
	q R2		[(1 − μ)R		R2
u2=	k	3		+ (1 + μ)	2	].	(14.40)
	E(R2	− R2 )	3		R
	2	3			3

После подстановки u1 и u2 в уравнение (14.38) разрешим его относительно qk:

403

	qk =	Е (R2	− R2 )(R2			− R2 )	(14.41)
		3		1	2	3
		2R2		(R2	− R	2 )
			3	2	1

Далее определяются напряжения σ2 и σt по уже известным формулам. Для внутреннего цилиндра следует поменять R2 и R3 в формулах (14.35):

σr= −

q

R2

R

2

k

3

[1 −

1

],

(14.42)

R2

− R2

r

3

1

σt=

qR2

[1

+

R

2

].

3

1

R2

− R2

r

3

1

Для внешнего цилиндра, который подвергается внутреннему давлению, подлежит замене R1 на R3:

σr= −

q R2

R

2

(14.43)

k

3

[

2

−1],

R2

− R

2

r

2

3

σt= −

q

k

R2

R

2

3

[

2

+1],

R2

− R2

r

2

3

Эпюры напряжений σr и σt показаны на рис. 14.11.

Контрольные вопросы к разделу 14

1.Какие геометрические формы называются пластинами и оболочками?

2.Назовите универсальное уравнение для расчета напряжений в тонкостенных оболочках различной конфигурации

3.В чем состоят особенности расчета сферической оболочки?

4.Назовите основные уравнения, которые используются при расчетах толстостенных цилиндров?

5.Укажите положения опасных площадок, принадлежащих цилиндрическому телу при действии внутреннего и внешнего давления соответственно.

404

Список литературы

1.Александров, А.В. Сопротивление материалов. / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; Ред. А.В. Александров. Учебник – М.: Высшая школа, 2003. – 560 с.

2.Дарков, А.В. Сопротивление материалов. / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. Учеб. для студентов втузов – М.: Высшая школа, 1989. – 622 с.

3.Богомаз, И.В. Сопротивление материалов. Часть I / И.В. Богомаз, В.В. Москвичев, Т.П. Мартынова. Учебник СМ, ч.1 (Гриф УМО) – Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 6535500 «Строительство». – Москва: Изд. АСВ, 2008. – 167с.

4.Богомаз, И.В. Сопротивление материалов. Часть II. / И.В. Богомаз, В.В. Москвичев, Т.П. Мартынова. Учебник СМ, ч.2 (Гриф УМО) - Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 6535500 «Строительство». – Москва: Изд. АСВ, 2008. – 187с.

5.Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов. / В. И. Феодосьев. Учебник в 8-ми т. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. – 589 с.

6.Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов. / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Научное издание. – Киев: Наукова думка, 1988. – 734 с.

7.Тимошенко, С.П. Механика материалов, / С.П. Тимошенко, Дж. Гере. Учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2002. – 669 с.

8.Сопротивление материалов: лабораторный практикум: Учеб. пособие для вузов/ А.С. Вольмир, Ю.П. Григорьев, В.А. Марьин, А.И. Станкевич. –

М.: Дрофа, 2004. – 352 с.

9.Ицкович, Г.М. Сопротивление материалов. / Г.М. Ицкович. Учебник.

–М.: Высшая школа, 2001. – 368 с.

10.Ицкович, Г. М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. / Г. М. Ицкович, Л. С. Минин, А. И. Винокуров ; ред. : Л. С. Минин. Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2001. – 592 с.

11.Сопротивление материалов. Расчет пространственного бруса: учеб. пособие по курсовому проектированию. / И.А. Зырянов, С.И. Трошин, Е.Н. Федорова, Л.П. Шатохина; ред. Л.П. Шатохина. – Красноярск: Сиб. фед. ун-т;

Политехн. ин-т, 2007. – 104 с.

12.Сопротивление материалов: учеб. пособие/ ред. Н.А. Костенко.– М.: Высшая школа, 2000. – 432 с.

13.Саргсян, А. Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности: Основы теории с примерами расчетов. / А. Е. Саргсян. – М.: Выс-

шая школа, 2000. – 286 с.

405

14.Батаев, А.А. Композиционные материалы: строение, получение, применение: Учебник / А. А. Батаев, В. А. Батаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 384 с.

15.Работнов, Ю.Н. Механика деформированного твердого тела. / Ю.Н. Работнов. – М.: Наука, 1988. – 712 с.

16.Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для вузов / А. А. Александров, В. Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 1990. – 370 с.

17.Жуковец, Н.И. Механические испытания металлов. / Н.И Жуковец – М.: Высшая школа, 1986. – 199 с.

18.Неразрушающий контроль и диагностика: справочник / В.В. Клюев, Ф.Р. Соснин, А. В. Ковалев и др.; под ред. В.В. Клюев. – М.: Машинострое-

ние, 2005. 656с.

19.Биргер, И.А. Сопротивление материалов /И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – Москва: Наука, 1994.

20.Дайчик, М.Л. Методы и средства натурной тензометрии. Справочник. / М.Д. Дайчик, Н.И. Пригоровский, Г.Х. Хуршудов. –М.: Машинострое-

ние, 1989. – 240 с.: ил.

21.Костин, П.П. Физико-механические испытания металлов, сплавов и неметаллических материалов / П.П. Костин. – М.: Машиностроение, 1990. – 256 с.

22.Пригоровский Н.И. Методы и средства определения полей деформаций и напряжений / Н.И. Пригоровский. М.: Машиностроение, 1983. – 248 с.

23.Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.; Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990.– 512 с.

Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.; Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990.– 512 с.