Давление жидкости на криволинейные стенки
На практике часто приходится определять давление на криволинейные стенки, давление жидкости на цилиндрические поверхности, являющиеся частным случаем криволинейных стенок. Определим в общем виде силу давления жидкости на цилиндрическую поверхность.
Будем считать, что давление над свободной поверхностью жидкости и с правой стороны криволинейной поверхности одинаковое и равное, например, атмосферному. Тогда результирующая сила давления определится избыточным давлением со стороны жидкости, т.е. весовым давлением.
Выделим на цилиндрической поверхности элементарную площадку ds, погруженную на глубину h.
.
Разложим силу давления на вертикальную и горизонтальную составляющие, обозначив угол отклонения линии ее действия от горизонтали .
Произведения
и
равны площадям проекций элементарной
площадки соответственно на вертикальную
и горизонтальную плоскости:
Тогда
Горизонтальная и вертикальная составляющие результирующей силы давления на криволинейную поверхность будут равны
Интеграл
,
где hc – глубина погружения центра тяжести проекции поверхности на вертикальную плоскость. Отсюда
,
(4.5)
то есть горизонтальная составляющая силы гидростатического давления, действующей на криволинейную поверхность, равна силе гидростатического давления в центре тяжести, действующей на вертикальную проекцию данной поверхности.
Произведение
представляет собой элементарный объем
dW,
отсюда
. (4.6)
Здесь W – объем тела, ограниченного криволинейной поверхностью и ее проекциями на горизонтальную и вертикальную координатные плоскости. Это тело называется телом давления.
Тогда
. (4.7)
Вертикальная составляющая силы гидростатического давления, действующей на криволинейную поверхность, равна весу жидкости в объеме тела давления.
Полная сила давления жидкости определяется как равнодействующая сил
. (3.8)
Закон Архимеда
Представим тело произвольной формы, погруженное в жидкость. На него действуют сила тяжести и сила гидростатического давления. Разложим силу гидростатического давления на горизонтальные и вертикальные составляющие. Горизонтальные составляющие будут взаимно компенсироваться. Результирующая вертикальных составляющих будет направлена вверх и будет равна весу тела давления.
Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, действуют две силы:
1) сила тяжести, т.е. вес тела
; (4.9)
2) выталкивающая сила
. (4.10)
Результирующая этих сил равна
. (4.11)
Если плотность жидкости больше плотности тела (ж > т), то тело будет всплывать до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится до веса тела, в дальнейшем это тело будет плавать на поверхности.
Если плотность жидкости меньше плотности тела (ж < т), то тело утонет.
Для устойчивого положения тела в жидкости необходимо, чтобы линии действия выталкивающей силы и силы тяжести были направлены по одной прямой. В противном случае эти силы создадут вращающий момент, который будет стремиться перевести тело в устойчивое положение.
Эта ситуация показана на рис.3.5. В случае а) центр приложения выталкивающей силы находится ниже центра тяжести тела, в случае б) центр тяжести ниже, эти тела находятся в равновесии, поскольку линии действия сил находятся на одной прямой. При отклонении тел от положения равновесия в случае в) возникающий момент возвращает тело к первоначальному положению. В случае г) пара сил будет увеличивать угол наклона и, следовательно, поворачивать тело к более устойчивому состоянию, соответствующему случаю б).
При полностью погруженном теле плавание будет устойчивым всегда, когда центр давления выше центра тяжести. Для тел, плавающих на поверхности жидкости, условие устойчивости сложнее, т.к. при наклоне тела изменяется форма вытесненного объема и, следовательно, положения центра давления.
На практике часто применяют искусственное понижение центра тяжести судна, устанавливая тяжелый киль на яхтах и размещая наиболее тяжелые грузы в нижней части трюма.