Часть 1. Начальная остойчивость

Начальной называется поперечная остойчивость при небольших углах крена, ко-торая характеризуется следующими допущениями:

1. углы наклонения не превышают 10-15º;

2. при этом палуба не входит в воду, а скула из воды не выходит;

3. наклонения равнообъемные, то есть объемы входящих частей корпуса и вы-ходящих из воды частей корпуса равны;

4. ось, вокруг которой происходит поворот судна, проходит через геометриче-ский центр тяжести площади действующей ватерлинии;

5. центр величины перемещается по дуге окружности.

Слово «допущения» предполагает, что на самом деле мы не можем сказать, что траектория центра величины – идеальная дуга окружности. Но в начале наклонения судна эта траектория настолько близка к окружности, что можно с большой точностью принять ее за дугу окружности. Все то же самое можно сказать о каждом из пяти допущений. На вопрос, зачем нам это нужно, можно ответить следующее: Как уже было отмечено, вос-станавливающий момент появляется потому, что перемещается центр величины, то есть это подвижная точка. Так вот, все эти допущения дают нам неподвижную в начальной ос-тойчивости точку – метацентр, которая жестко связана с центром величины. А это об-стоятельство позволяет производить расчет начальной остойчивости простыми математи-ческими методами.

§ 20. Метацентрические формулы остойчивости

Если судно под действием кренящего момента Мкр (рисунок 34), например, давле-нием ветра, получит крен на угол θ, то форма погруженной части корпуса изменится. А так как положение центра величины зависит от геометрической формы погруженной час-ти корпуса, а она изменилась, то и центр величины перемещается из точки С в точку С1, причем это перемещение, как уже было нами принято, произойдет по дуге окружности, центр которой – точка М, и точка эта называется поперечным метацентром. То есть: метацентр – это центр кривизны траектории центра величины.

А если есть окружность (траектория перемещения центра величины) и есть центр этой окружности (метацентр), то есть и радиус этой окружности, и это расстояние от ме-тацентра М до центра величины С – МС называется метацентрическим радиусом и обозначается ρ.

Поперечный метацентрический радиус может быть вычислен по формуле:

, (50)

где Iх – момент инерции площади ватерлинии относительно продольной оси, проходящей через центр тяжести площади ватерлинии, м²;

V – водоизмещение судна, м³.

Момент инерции, величина, являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении, каковым и является наклонение судна (поворот). Не вдаваясь в подробности, а момент инерции рассчитывается интегрированием произведе-ния площади ватерлинии на квадрат расстояния до продольной оси инерции, можно ска-зать одно: метацентрический радиус – величина рассчитываемая, его можно посчитать, что и делают. Кроме расчета по формуле (50), а это довольно трудоемкий расчет, сущест-вуют еще и эмпирические формулы, которые дают довольно точный результат. Вот неко-торые из них:

(51)

или

(52)

Получается, что начальная остойчивость характеризуется неподвижным метацен-тром. Вообще-то при наклонении взаимодействуют центр тяжести и центр величины – именно от их взаимного расположения зависит: вернется судно в прежнее положение по-сле наклонения или нет. Но центр величины постоянно перемещается, но зато есть непод-вижная точка – метацентр, положение которой напрямую связано с центром величины. Это значительно упрощает расчет остойчивости судна при небольших углах крена.

Итак, судно отклонилось от вертикали к поверхности воды под действием креня-щего момента Мкр (например, под действием ветра) на угол крена θ. При этом центр тя-жести G (точка приложения силы тяжести Р) не меняет своего положения, т.к. нагрузка судна осталась прежней. Но судно наклонилось, и форма погруженной части корпуса из-менилась, а следовательно, и изменилось положение центра величины – он переместился из точки С в точку С1. перемещение этой точки, согласно допущению, происходит вокруг метацентра М. Так как центр величины переместился, а он является точкой приложения силы поддержания, то силы веса и поддержания оказываются не на одной прямой, а на параллельных траекториях, то есть они образуют пару сил, а, следовательно, момент сил, который называется восстанавливающим Мвос. Этот момент и возвращает судно в исход-ное положение, и его величина и характеризует степень остойчивости судна. Он опреде-ляется произведением силы на плечо, а плечо есть кратчайшее расстояние между траекто-риями действия сил, то есть – перпендикуляр GK = l. Величина l называется плечом ос-тойчивости. Тогда:

Мвос = Dl (53)

Из рисунка 34 видно, что величина плеча остойчивости зависит от взаимного рас-положения центра величины С, центра тяжести G и метацентра М. Расстояние между ме-тацентром М и центром тяжести G называется поперечной метацентрической высотой, и обозначается h.

Величину плеча остойчивости можно определить из прямоугольного треугольника MGK, учитывая, что плечо l – катет, противолежащий углу крена θ, а метацентрическая высота h – гипотенуза:

l = h sinθ (54)

Теперь подставим l в выражение (50) и получим метацентрическую формулу попе-речной остойчивости, которая определяет величину восстанавливающего момента:

Мвос = Dh sinθ (55)

Так как углы крена θ малы (мы это принимали в допущениях), можно заменить sinθ на θ при условии, что угол θ измерен в радианах, а не в градусах. Тогда формула (55) примет вид:

Мвос = Dhθ (56)

Учитывая, что судно находится в состоянии статического равновесия, а оно вы-ражается равенством моментов восстанавливающего и кренящего

Мвос = Мкр , (57)

из формулы (57) легко получить значения угла крена θ в радианах:

(58)

или в градусах:

(59)

На практике часто пользуются величиной кренящего момента mо, изменяющего крен судна на 1º. Его можно получить из выражения (58), приняв θº= 1º:

(60)

откуда mо в тм/град:

(61)

зная величину mо, легко определить угол крена θ, возникающий под действием из-вестного кренящего момента Мкр в градусах:

(62)