2. Понятие функции, ее свойства

В самом общем понимании функция-это зависимость между переменными, где переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Введем строгое определение функции.

Функция y=f(x) зависимость f, при которой каждому x D ставится в соответствие единственное значение y E.

Записывают: y=f(x), , x- аргумент или независимая переменная; y- функция или зависимая переменная.

Например, функция отображает множество на множество .

Областью определения функции называется множество допустимых значений аргумента x. Обозначается: D(f)

Областью значения функции называется множество всех y, которые может принимать функция. Обозначается: E(f).

В курсе математического анализа изучают главным образом числовые функции, т.е. функции, для которых оба множества X и Y состоят из чисел.

Наглядное представление о числовой функции дает ее график.

График функции с областью определения D называется множество точек плоскости : .

Функция может быть задана различными способами. Наиболее употребительными являются следующие четыре способа задания функции.

Способ	Описание	Пример
Аналитический	задание функции с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести над x , чтобы получить y. Это способ наиболее часто встречается на практике.	Формула для задания функции может быть задана явно или неявно. Функция задана явно, если она задана формулой . Например, . Функция задана неявно, если она задана формулой . Например, . Функция может быть задана не в виде одной формулы, а с помощью нескольких формул. Например,
Графический	задание функции с помощью графика	ЭКГ у пациента или показания осциллографа
Табличный	задание функции в виде таблицы, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x)	Таблица выигрышей в лотерею или таблица значений функции Пуассона и т.д.
Словесный	с помощью естественного языка	Игрек равно целая часть от икс.

Основные свойства и виды функций

Перечислим основные свойства функций.

1. Четность, нечетность. Функция называется четной, если для любых значений x из области определения X значение также принадлежит X и выполнено и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, четная функция, нечетная функция.

2. Монотонность. Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Функция возрастающая на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для любых _.

Функция убывающая на (а;b), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. для любых

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует число М>0, что

_{Например, функция} - ограничена на всей числовой оси (М=1).

Функции могут быть ограничены сверху, когда при тех же условиях выполнено ограничены снизу, если выполнено

4. Периодичность. Функция называется периодической с периодом если для любых значений x из области определения X, значение также принадлежит X и выполнено Например, функция является периодической с периодом

5. Обратная функция. Пусть - функция, с областью определения X и областью значений Y. Дополнительно предположим, что разным значениям х соответствуют разные значения y. Тогда, для каждого существует единственное значение такое, что Поставим в соответствие каждому единственное значение Функцию определенную на множестве Y с областью значений X называют обратной к функции и обозначается

На практике, аргумент в обратной функции обозначается через х, а значение функции через y. Тогда, обратная функция запишется

Например, для функции обратной будет или в обычных обозначениях ; для функции обратной будет функция Графики взаимно-обратных функция симметричны относительно биссектрисы у = х первого и третьего координатных углов.

Теорема 4.1. Для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Доказательство. Из определения обратной функции, функция имеет обратную тогда и только тогда, когда имеется взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y.

6. Сложная функция. Если величина y является функцией от u, то есть , а u, в свою очередь, функцией от x, то есть , то является сложной функцией от x (суперпозиция функций, композиция функций, функция от функции). Например, две функции и определяют сложную функцию .

7. Основные элементарные функции:

1. Степенные функции.

2. Показательные функции.

3. Логарифмические функции.

4. Тригонометрические функции.

5. Обратные тригонометрические функции.

Функции, построенные из основных с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.