- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
3. Понятие числовой последовательности
Рассмотрим особый вид функции- числовую последовательность.
Пусть задана некоторая функция , аргумент которой будет натуральным числом ( , т.е.
если , то
если , то
…..
если , то
Значения этой функции будут определять бесконечный ряд чисел, называемый последовательностью.
Бесконечной числовой последовательностью называется бесконечный ряд, занумерованный числами натурального ряда в порядке возрастания или убывания номеров. Иначе говоря, числовая последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Числовая последовательность это функция натурального аргумента.
На практике, числовую последовательность записывают . Числа называются членами последовательности, а общий член или n-й член числовой последовательности. По общему члену всегда можно найти любой член последовательности, подставив вместо n нужное число.
Последовательность считается заданной, если задан закон, по которому она образуется, т.е. правило нахождения общего члена
Пример:
1) - формула общего члена; -члены числовой последовательности;
2) формула общего члена; -члены числовой последовательности.
Так как последовательность- это частный вид функции, то, как и функции, последовательности могут быть ограниченными и неограниченными, возрастающими и убывающими. Например,
1) ограниченная, убывающая.
2) ограниченная, не монотонная.
3) неограниченна, не монотонна.
Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
Время -2 а.ч.
План:
1. Предел числовой последовательности и его свойства
2. Понятие предела функции
3. Основные теоремы о пределах
В математическом анализе широко используется представление некоторых словесных выражений в виде символов которые называются кванторами.
Основными кванторами являются:
- знак логического следования (одно следует из другого)
- знак равносильности
- знак принадлежности
- знак непринадлежности
- квантор существования (соответствует словам «имеется», «найдется»)
- квантор общности (соответствует словам «для любого», «для всех»)
-множество элементов x, удовлетворяющих условию P(x)
1. Предел числовой последовательности и его свойства
Пример. Пусть в тире тренировались два стрелка: хороший - назовем его "Снайпер", и плохой - "Мазила".
Если внимательно посмотреть на результаты этой тренировки, то нетрудно заметить, что последовательность выстрелов "Снайпера" (последовательность А) вся находится не только внутри мишени, но и, более того, как бы "стремится" к центру мишени ("яблочко"). А вот у "Мазилы" дела плохи (последовательность В)- выстрелы разбросаны по всей мишени в абсолютном беспорядке, несколько даже оказались в "молоке". Математики в этом случае говорят, что последовательность А сходится (к центру, к "10"), а последовательность В - расходится. Число, к которому сходится последовательность А (число 10) называют пределом сходящейся последовательности.
Точка сгущения- точка, к которой стягиваются члены числовой последовательности. В любой окрестности точки сгущения окажутся бесконечное множество членов числовой последовательности. Существуют последовательности, которые имеют единственную точку сгущения. В этом случае ее называют пределом числовой последовательности. Математики не любят термин «точка сгущения для членов последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».
Дадим строгие определение предела последовательности, а так же определения сходящейся и расходящейся последовательности.
Число а называется пределом числовой последовательности (переменной) , если для любого сколь угодно малого, наперед задуманного, положительного числа найдется такой номер N начиная с которого для всех членов последовательности с номерами верно неравенство .
Предел числовой последовательности обозначается или при .
На языке кванторов определение предела имеет вид:
Числовые последовательности, имеющие конечный предел называются сходящимися. Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то последовательность называется расходящейся.
Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности сколь угодно мало отличаются от числа а. Например, члены числовой последовательности имеют вид: . Пределом этой последовательности является число "ноль". Действительно, если изобразить эту последовательность на числовой оси, то мы увидим, что все члены последовательности как бы стремятся "слипнуться" с нулем. (рис….)
Рисунок 1…
Исходя из вышеизложенного, можно записать: Пример: Дана последовательность .1) Доказать, что число 1 является ее пределом; 2) при каких n выполняется неравенство
Решение. 1) Докажем, используя определение предела. Возьмем произвольное и покажем, что можно найти такой номер N начиная с которого для всех членов последовательности с номерами верно неравенство
Преобразуем это неравенство:
Очевидно, что если принять N равным ближайшему целому числу, большим величины например, то будет выполняться неравенство
2) В нашем случае , тогда . Отсюда имеем, что все члены последовательности с номерами удовлетворяют неравенству иными словами, отличаются от своего предела не больше, чем на 0,01.
Для лучшего понимания понятия предела последовательности полезно использовать его геометрический смысл.
Неравенство эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер N, , что все члены последовательности с номерами расположены между и .
Переменная сгущается, накапливается возле своего предела и в интервале находится бесконечное число, а вне её, конечное.
Замечание. Если число а — предел последовательности , то, образно выражаясь, — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.
Основные теоремы о пределах последовательности
Теорема 4.2. Сходящая последовательность имеет только единственный предел.
Доказательство: Предположим, противное- что сходящаяся последовательность имеет два различных предела и причем стр. 63 Хамов
Остальные теоремы приведем без доказательства.
Теорема 4.3. Сходящаяся последовательность всегда ограничена.
Теорема 4.4. (о предельном переходе в неравенстве). Если и начиная с некоторого номера, выполняется то и
Теорема 4.5. (о сжатой переменной). Если члены трех последовательностей связаны неравенствами и при этом последовательности и имеют один и тот же предел а, т.е. , то и последовательность имеет предел а, т.е. .
Теорема 4.6. (теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности). Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Итак, было рассмотрено понятие предела функции натурального аргумента- числовой последовательности. Обобщим это понятие для произвольной функции.