- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида:
,
, ,
линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных , называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка (ЛОДУ).
Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью.
Если , то - уравнение называется линейным однородным.
Рассмотрим некоторые свойства ЛОДУ на примере уравнений второго порядка:
.
Теорема 8.1. Если функция является решением уравнения , то и функция , где С1 – произвольная постоянная, так же будет являться решением этого уравнения.
Доказательство: Подставив функцию в уравнение, получаем:
является решением дифференциального уравнения
Теорема 8.2. Если и являются решениями дифференциального уравнения , то их линейная комбинация , так же будет являться решением этого уравнения.
Замечание: Функция зависит, кроме x, от двух произвольных постоянных и если С1 и С2 для любых допустимых начальных условий определяются однозначно, то является общим решением дифференциального уравнения второго порядка. Доказано, что для выполнения этого требования функции и должны быть не просто частными решениями дифференциального уравнения, а отвечать специальным требованиям, для введения которых необходимо рассмотреть следующие определения.
Функции и называются линейно зависимыми на множестве D, если хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие, что .
Очевидно, что если и линейно зависимы, например , то , что означает пропорциональность и .
Функции и называются линейно независимыми в области D, если их линейная комбинация равна нулю для , только при условии, когда .
Если функции и дифференцируемы, то функциональный определитель вида:
называется определителем Вронского или вронскианом этих функций.
Теорема 8.3. Для того, чтобы функции были линейно независимы на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского не равнялся нулю на этом множестве.
Теорема 8.4. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка
Если и - два линейно независимые частные решения дифференциального уравнения , то функция , где С1, С2 – произвольные постоянные, является общим решением этого дифференциального уравнения.
Proof: Необходимо доказать два момента:
1) является решением дифференциального уравнения при любых С1 и С2;
2) для любых допустимых начальных условий
константы С1 и С2 определяются однозначно.
Первое требование доказано в Th 2.
Для доказательства второго требования составим систему линейных алгебраических уравнений
,
где - заданные числа, а неизвестными являются С1 и С2.
Система имеет единственное решение, когда её главный определитель не равен нулю, т.е. . Но совпадает с определителем Вронского функций y1 и y2 при x=x0, т.е. , а по условию теоремы y1 и y2 - линейно независимы и, объединяя информацию, получаем: ,
а значит С1 и С2 определяются из системы однозначно.
Вывод: Совокупность функций будет общим решением уравнения , если являются линейно независимыми частными решениями этого дифференциального уравнения.
Замечание: Не существует общего метода нахождения частных решений уравнения , когда коэффициент переменные, но для случая, когда они являются константами, Эйлером создан очень удобный метод нахождения частных решений.