1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами

Вектор –это направленный отрезок, т.е отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора.

Будем обозначать вектор или одной буквой со стрелочкой над ней, например, или двумя большими буквами , где А-начало, В-конец вектора. Обращаю Ваше внимание, наверху букв должна стоять именно стрелка, а не черточка. Это когда-то раньше использовали черточку в обозначении вектора. Сейчас черточка над буквой обозначает среднюю величину, но не вектор!

Вектор , у которого начало- в точке В, а конец- в точке А, называется противоположным вектору .

Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка АВ. Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю и обозначается Вектор называется единичным, если его модуль равен единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Записывают

Линейные операции над геометрическими векторами

Пусть и -два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и (см. рис. 2)

Это правило называется правилом треугольника.

Для сложения двух векторов используют правило параллелограмма (см. рис 3)

Разностью двух векторов и называют вектор такой, что . Вектор можно построить следующим образом: из произвольной точки А строят векторы и . Вектор равен (см. рис 4).

Произведением вектора на действительное число называется вектор , который:

1. коллинеарен вектору ;

2. имеет длину, равную ;

3. имеет то же направление, что и вектор , если и направление, противоположное направлению вектора , если

Например,

Пример. Дан четырехугольник ABCD. Точки M,N,P,Q- середины соответствующих сторон AB,BC,CD,AD. Пусть Выразить через следующие векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей

Пусть задана ось l. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Пусть произвольный вектор. Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены. Проекция вектора на ось l обозначается так: .

Рассмотрим прямоугольную декартовую систему координат в пространстве:

Рис.

Единичные векторы, выходящие из начала координат и расположенные на координатных осях, называются координатными ортами и обозначаются

Проведем в пространстве вектор и опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на оси координат, получим проекции этого вектора на соответствующие оси.

Координатами вектора называются его проекции на оси координат. Координаты вектора записываются в фигурных скобках (в отличие от координат точки) . Вектор может быть записан через координатные орты: Эта формула называется разложением вектора по координатным ортам.

Длина вектора будет вычисляться по формуле

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.