- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
2. Эквивалентные бесконечно малые функции
Отношение двух бесконечно малых может вести себя различным образом. Пусть и бесконечно малые функции при .
1. Функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости при , если предел их отношения есть конечное число не равное нулю, т.е.
2. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости при чем , если предел их отношения равен нулю, т.е.
3. Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости при чем , если предел их отношения равен бесконечности, т.е.
4. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если предел их отношения не существует.
5. Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми (асимптотически равными) при , если предел их отношения равен единице, т.е. Обозначение:
Пример:
1) и -бесконечно малые одного порядка малости при , т.к.
2) есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем при , т.к.
3) и есть несравнимые бесконечно малые при , т.к. не существует.
Для эквивалентных бесконечно малых имеют место теоремы.
Теорема 4.13. Предел отношения двух бесконечно малых функций не измениться, если обе или одну из них заменить на эквивалентную бесконечно малую.
Доказательство. Пусть и при . Тогда
Раскрытие неопределенностей
Как уже отмечалось, далеко не все пределы можно вычислить простой подстановкой значения, к которому стремиться аргумент в функцию, стоящую под знаком предела. Достаточно часто сталкиваются с некоторыми неопределенностями, когда невозможно сразу найти значение предела. В таких случаях применяют некоторые методы, которые позволяют удалить возникшую неопределенность, или, раскрыть неопределенность. Основными неопределенностями являются неопределенности, связанные с отношением двух бесконечно малых и двух бесконечно больших величин, обозначаемых и соответственно. Кроме этого, встречаются неопределенности следующих видов: , , , , .
Рассмотрим несколько стандартных методов раскрытия неопределенности.
1. Пусть рассматривается предел отношения многочленов , где и - бесконечно большие функции при . Очевидно, что в этом случае имеет место неопределенность . Для ее раскрытия предлагается числитель и знаменатель разделить на в наивысшей степени и применить свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Пример 4…. Найти предел
Решение: Очевидно, что имеет место неопределенность . Наивысшая степень равна трем. Разделим числитель и знаменатель на и после сокращения применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, получим:
Пример 4…. Найти предел
Решение: Очевидно, что имеет место неопределенность . Наивысшая степень равна четырем. Разделим числитель и знаменатель на и после сокращения применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, получим:
Пример 4…. Найти предел
Решение: Очевидно, что имеет место неопределенность . Наивысшая степень равна пяти. Разделим числитель и знаменатель на и после сокращения применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, получим:
Сравнивая результаты трех примеров нетрудно понять, что значение предела зависит от степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе. В общем виде правило можно записать следующим образом:
2.Пусть рассматривается предел отношения многочленов , где и - бесконечно малые функции при . Очевидно, что в этом случае имеет место неопределенность . Для ее раскрытия предлагается числитель и знаменатель разложить на множители и произвести сокращение.
Пример 4…Найти предел
Решение. Очевидно, что имеет место неопределенность . Раскроем ее, используя тождественные преобразования:
3. Пусть под знаком предела имеется функция или функции, стоящие под знаком корня. В этом случае могут появиться неопределенности вида , , . Для их раскрытия предлагается домножить числитель и знаменатель на выражение, дополняющее одну из формул сокращенного умножения (разность квадратов, сумму и разность кубов). Затем провести алгебраические преобразования и сокращения.
Пример 4…. Найти предел
Решение. Очевидно, что имеет место неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение и выражение в знаменателе запишем как разность квадратов. Получим
Для нахождения пределов тригонометрических, показательных и логарифмических функций часто используют так называемые замечательные пределы.