Непрерывные функции и их свойства
Функция называется непрерывной в точке , если….
Контрольные вопросы
Понятие и виды множеств. Основные операции над множествами.
Понятие функции. Область определения, область значения. Способы задания функций.
Основные свойства функции: периодичность, четность, монотонность, ограниченность.
Обратная функция. Сложная функция. Примеры.
Понятие числовой последовательности.
Предел числовой последовательности.
Сходящиеся числовые последовательности и их свойства.
Определение предела функции.
Основные теоремы о пределах.
Понятие бесконечно малой функции и ее свойства.
Понятие бесконечно большой функции и ее свойства.
Эквивалентные бесконечно малые.
Раскрытие неопределенностей вида и
Первый замечательный предел.
Число е. Второй замечательный предел.
Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.
Классификация точек разрыва.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)…..
16)
17)
18)…
19)
20)
21)
Тема 5.
Дифференциальное исчисление ФОП
Лекция 5.1.
Производная функции. Правила и формулы дифференцирования
Время -2 а.ч.
План:
Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной
Основные правила и формулы дифференцирования
Дифференцирование различных функций.
Дифференциальное исчисление- широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. В основе дифференциального исчисления лежит задача отыскания скорости изменения некоторой функции. Увеличится или уменьшиться выручка фирмы при повышении цены на продукции?........................................Для решения таких задач должна быть построена функция связи входящих в них переменных, которые потом изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.
Идея дифференциального исчисления зародилась в…..(история)
Одним из основных понятий дифференциального исчисления является понятие производной функции. Производная широко используется при решении ряда задач математики, физики, техники, экономики. Наиболее часто применяется производная при решении задач, связанных с изучением скорости разных процессов, с нахождением экстремальных значений функций.
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости движущейся точки
Задача о касательной к кривой
Напомним понятие
касательной к кривой в данной точке.
Рассмотрим на плоскости
кривую
с уравнением
.
Возьмем на кривой две точки
и
и проведем секущую
(секущая
–это прямая, имеющая с кривой по крайней
мере две общие точки). При перемещении
точки
к точке
вдоль по кривой, секущая будет вращаться
вокруг точки
.
Рис.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка вдоль по кривой стремится к совпадению с точкой .
Смысл этого
определения состоит в том, что угол
, при условии, что хорда
.
Пусть на плоскости
задана
кривая уравнением
.
Возьмем произвольную точку
на данной кривой и проведем в ней
касательную. Поставим задачу о нахождении
углового коэффициента касательной,
т.е. тангенса угла наклона касательной
к положительному направлению оси
.
Рис.
Обозначим через
,
где
угол
наклона касательной к положительному
направлению оси
.
Найдем угловой коэффициент секущей
,
т.е. тангенс угла
.
Из треугольника
следует, что
Тогда, очевидно, что угловой коэффициент касательной может быть найден по формуле:
История об ученом Лейбнице, т.к. задача Лейбница.
Задача о ….
Сопоставляя операции, которые проводились при решении четырех вышерассмотренных задач, легко видеть, что во всех случаях делалось одно и то же (различия только в истолковании переменных); а именно, приращение функции делилось на приращение аргумента, а затем вычислялся предел этого отношения, при условии приращения аргумента стремящегося к нулю. Это предел и называется производной, являясь основным понятием дифференциального исчисления.