Тема 6.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Лекция 6.1.

Фнп. Частные производные

Время -2 а.ч.

План:

1.Понятие функции двух и нескольких переменных.

2. Графики ФДП

3. Предел и непрерывность ФДП

4. Понятие частных производных и дифференциала ФДП

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и вест понятие функции нескольких переменных.

1.Понятие функции двух и нескольких переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел .

Функцией двух переменных называется соответствие f, которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число . Записывается в виде . При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z - зависимой переменной (функцией).

Областью определения функции называется …..Множество D=D(f) Множество значений, принимаемых z называется областью изменения (множество значений) функции и обозначается E(f)=E.??????

Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных

Время -2 а.ч.

План:

1. Производная по направлению

2. Градиент функции и его применение

3. Частные производные второго порядка для ФДП

4. Экстремум ФДП

5. Наибольшее и наимененьшее значение функции на замкнутой области

1. Производная по направлению

Пусть диффенцируемая функция двух переменных. Рассмотренные ранее частные производные от функции двух переменных являются «производными в направлении координатных осей». Например, при нахождении приращение получает переменная x, изменяясь от x до вдоль оси Ox. Целесообразно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому направлению.

Рассмотрим вектор , где -фиксированная точка плоскости , а любая точка плоскости . Направление движения точки будет показывать вектор .

Производной функции в точке в направлении вектора называется предел , если он существует. Обозначается или . Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в направлении вектора. Если , то функция возрастает в направлении вектора , если , то функция убывает в направлении вектора .

Механический (физический) смысл производной по направлению состоит в том, что она характеризует мгновенную скорость изменения функции в точке в направлении вектора .

Нетрудно понять, что определенные ранее частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным осям плоскости и соответственно.

Для вычисления производной по направлению функции двух переменных используют формулу:

где и направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, образуемых вектором с осями координат.

2. Градиент функции и его применение

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку». Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Пусть дифференцируемая функция двух переменных.

Градиентом функции называется….

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке, т.е. справедлив свойство.

Теорема 7.1. Градиент функции в точке характеризует направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, причем наибольшая скорость возрастанию функции в точке равна

Пример 7.6. Найти градиент…

Пример 7.7. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке …..

Решение. Найдем частные производные и их значения в точке М

……

По формуле найдем наибольшую скорость возрастания функции…

3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных

Лекция в разработке.

Контрольные вопросы

Тема 7

Интегральное исчисление

Лекция 7.1.

Первообразная и неопределенный интеграл

Время -2 а.ч.

План:

1. Определение первообразной и неопределенного интеграла

2. Непосредственное интегрирование

3. Основные методы интегрирования

Из школьного курса известно, что для каждого математического действия существует ему обратное.

Взаимно обратные действия – это действия, которые, будучи сделанные друг за другом, уничтожают результаты друг друга, а число, к которому они последовательно были применены, остается неизменным. Вычитание есть действие обратное сложению, умножение -делению, возведение в степень - извлечению корня, логарифмирование – потенцированию. В предыдущих темах было рассмотрено действие-дифференцирование, т.е. нахождение производной функции. Для дифференцирования есть свое обратное действие, называемое интегрированием, т.е. отыскание функции по известной производной. К таким задачам приводят различные задачи из физики, химии, экономики и других областях.

Например, если известен закон прямолинейного движения материальной точки, выражающий зависимость пути s от времени t, то скорость точки находится как производная пути по времени: . Однако может возникнуть и обратная задача: по известной скорости прямолинейного движения точки , найти закон движения . Ясно, что искомая функция будет такая, для которой .

Интеграл (от лат. integer — целый), одно из самых важных понятий математики, появившееся в связи с возникшей потребностью, с одной стороны, находить функции по их производным, а с другой — находить площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п