1.2. Примеры числовых рядов.
Пример 1. Ряд вида
(1.2)
называется геометрическим
.
Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.
Известно, что сумма её первых n членов
.
Очевидно: это n-ая частичная сумма
ряда (1.2).
Возможны случаи:
:
.
Ряд (1.2) принимает вид:
,
,
ряд расходится;
Ряд (1.2) принимает вид:
,
не имеет предела, ряд расходится.
,
-
конечное число, ряд сходится.
,
-
ряд расходится.
Итак, данный ряд сходится при
и
расходится при
.
Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
Время -2 а.ч.
План:
1. Понятие функционального ряда, его область сходимости..
2. Степенной ряд, вид его области сходимости.
3. Нахождение радиуса, интервала и области сходимости степенного ряда.
Пусть
-последовательность
функций, определенных на некотором
множестве действительных чисел.
Выражение вида
называется функциональным рядом.
Придавая x определенное значение , получим числовой ряд
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Например,
функциональный ряд
сходится в точке
и расходится в точке
,
т.к. при подстановке этих точек в исходный
ряд, получаем геометрический ряд со
знаменателями
и
соответственно.
Совокупность числовых значений аргумента x , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости ряда. Область сходимости может состоять из одной точки, из нескольких точек, может быть отрезком, всей вещественной прямой, и, наконец, может быть пустым множеством.
Пример 5.12.
Найти область сходимости и сумму ряда
.
Решение.
Данный ряд является рядом геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Следовательно, для каждого конкретного
значения x
данный ряд –это геометрический ряд.
Как известно, геометрический ряд сходится
при
или
,
т.е. при всех
.
Сумму ряда можно найти по формуле суммы
всех членов бесконечно убывающей
прогрессии:
.
Таким образом, данный ряд сходится при
всех
и сумма ряда равна
.
2. Степенной ряд, вид его области сходимости
Из функциональных рядов особенно хорошо изучены и находят наибольшее применение ряды, членами которых являются степенные функции аргумента x, так называемые степенные ряды.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
(5.7)
где
некоторые
числа, называемые коэффициентами
степенного ряда. Данный
ряд разложен по степеням x.
Степенным
рядом
называется также ряд, разложенный
по степеням
где
-произвольное
число. Такой ряд имеет вид:
(5.8)
Ряд (5.8) легко
приводится к виду (5.7), если положить
.
Поэтому при изучении степенных рядов
ограничимся изучением степенных рядов
вида (5.7).
Отметим, что ряд
(5.7) сходится в точке x=0.
В самом деле, если подставить в ряд (5.7)
x=0,
получим ряд, сумма которого равна
.
В общем случае, для степенных рядов
можно указать промежутки, который и
будет определять область сходимости
ряда. О виде области сходимости степенного
ряда можно судить, исходя из следующей
теоремы.
Теорема 5.12 (теорема Абеля)
Если степенной
ряд
сходится при
,
то он сходится и притом для всех x,
удовлетворяющих условию
Если степенной
ряд
расходится при
,
то он расходится и притом для всех x,
удовлетворяющих условию
Доказательство.
Ряд
сходится в точке x=0,
следовательно, по необходимому признаку
сходимости его общий член стремится к
нулю при неограниченном увеличении n,
т.е.
.
Тогда, последовательность с общим членом
является ограниченной. Это значит, что
найдется такое число
,
что для всех n
выполняется неравенство
,
n=0,1,2,…
Пусть
.
Положим
.
Очевидно, что
.
Тогда
Отсюда каждый член
ряда
по абсолютной величине не превосходит
соответствующего члена сходящегося
геометрического ряда с общим членом
Следовательно, по первому признаку
сравнения ряд абсолютно сходится при
.
Пусть
.
Докажем, что для этих значений x
ряд
расходится. Предположим противное, т.е.
существует точка
,
такая что
,
и в которой ряд сходится. Тогда по уже
доказанной первой части теоремы Абеля
ряд
должен сходится и в точке
,
что противоречит второму условию
теоремы.
Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Абеля.
1) Пусть
-точка
сходимости ряда
.
(Будем считать
).
Тогда для всех x
удовлетворяющих условию
получим сходящийся ряд. Таким образом,
интервал
принадлежит области сходимости ряда
:
КАРТИНКА
2) Пусть
-точка
расходимости ряда
.
(Будем считать
).
Тогда для всех x
удовлетворяющих условию
получим расходящийся ряд. Таким образом,
интервалы
принадлежат области расходимости ряда
:
КАРТИНКА
Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.
Теорема 5.13. Для степенного ряда выполнено одно из трех условий:
1) ряд
сходится в единственной точке
2) Ряд
сходится для всех значений
3) Существует такое
число
,
что для всех
степенной ряд
сходится, а при всех
расходится.
Геометрическая интерпретация теоремы:
КАРТИНКА
Радиусом сходимости степенного ряда называется число , такое, что при всех степенной ряд сходится, а при всех расходится.
Интервал сходимости
степенного ряда называется интервал
Радиус сходимости моет быть равен нулю (пункт 1 в теореме 5.13) и равен бесконечности (пункт 2 в теореме 5.13).
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех точек данного ряда.