Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление

Время -2 а.ч.

План:

1. Понятие несобственного интеграла первого рода и его нахождение.

2. Понятие несобственного интеграла второго рода.

3. Приложения определенного интеграла.

Определяя понятие определенного интеграла, как предела интегральных сумм, предполагалось, что 1) отрезок интегрирования конечный; 2) подынтегральная функция непрерывна на этом отрезке. Если, хотя бы одно из условий не выполнено, то данное определение теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования, нельзя разбить отрезок на частей конечной длины, а в случае разрывной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Тогда и появляется понятие несобственного интеграла первого рода и несобственного интеграла второго рода.

1. Понятие несобственного интеграла первого рода и его вычисление

Пусть функция …

3 случая…

Пример…

Геометрический смысл несобственного интеграла

Несобственный интеграл, если он сходиться, выражает конечную площадь бесконечной области ( )

Пример….Вычислить .

Решение+ геометрич. Картинка.

2. Понятие несобственного интеграла второго рода

1) Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при Следовательно, для этой функции существует определенный интеграл для любого

Несобственным интегралом второго рода от неограниченной функции по конечному промежутку называется интеграл, определяемый по формуле:

Рис…..

2) Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при

Несобственным интегралом второго рода от функции , которая имеет бесконечный разрыв в левой границе промежутка, называется интеграл, определяемый по формуле:

Если данные пределы в левой части существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

3) Пусть функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка то

Несобственным интегралом второго рода от функции , которая имеет бесконечный разрыв во внутренней точке , называется интеграл, определяемый по формуле:

Данный интеграл будет сходящимся только в том случае, если оба интеграла в правой части сходятся.

Пример 8.13…….

3. Приложения определенного интеграла

Рассмотрим несколько основных приложений определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры

№	Рисунок	Формула
1	…… Криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции , снизу осью , слева и справа прямыми и
2	….. Криволинейная трапеция ограничена снизу графиком функции , сверху осью , слева и справа прямыми и
3	….. Криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции , снизу графиком функции , слева и справа прямыми и

Длина дуги кривой

Если функция непрерывна вместе с на отрезке то длина дуги кривой АВ выражается формулой

Объем тела вращения

№	Рисунок	Формула
1	….. Тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу осью , слева и справа прямыми и
2	…. Тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу графиком функции , слева и справа прямыми и