Контрольные вопросы

1. Определение математики, ее основные методы

2. Периоды развития математики по Колмогорову

3. Понятие комплексного числа, его алгебраическая форма, сопряженные комплексные числа.

4. Арифметические действия с комплексными числами

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент.

6. Арифметические действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

7. Показательная форма комплексного числа.

Раздел I.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тема 2.

Элементы линейной алгебры

Лекция 2.1.

Матрицы и определители. Формулы Крамера

Время-2 часа

План:

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений

2. Понятие матрицы, виды матриц

3. Определители и их свойства. Формулы Крамера.

Раздел высшей алгебры, занимающийся исследованием и решением системы линейных алгебраических уравнений, называется «Линейная алгебра». Линейная алгебра имеет важное значение для выпускников вузов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей процессов и явлений записывается в достаточно простой и компактной, так называемой матричной форме. Матрица, ее свойства, а также связанная с ней величина- определитель широко применяются при решении систем линейных алгебраических уравнений.

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим школьную задачу.

Пример: Фирма шьет беби-слинги двух моделей. На пошив одного изделия первой модели требуется 2 м. флиса и 1.5 м. вельвета. На пошив одного изделия второй модели требуется 1м. флиса и 2 м. вельвета. Сколько изделий каждой модели сшила фирма, если было израсходовано 51 м. флиса и 52 м. вельвета?

Решение: Пусть изделий 1-й модели-x штук, а второй-y. Тогда на пошив всех изделий израсходовано флиса метров, вельвета метров. Используя условие задачи, составим систему двух уравнений с двумя неизвестными: Решая систему уравнений, имеем

Итак, фирма сшила 20 изделий первой модели и 11 изделий второй.

Можно привести много разных задач различной тематики, в которых необходимо решить некую систему уравнений, причем число уравнений и неизвестных в системе от задачи к задаче может меняться и не обязательно совпадать.

Перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в общем виде.

СЛАУ m уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.1)

где коэффициенты системы; свободные члены; неизвестные.

Слово «линейность» означает то, что все неизвестные входят в систему в первой степени.

СЛАУ могу быть однородными и неоднородными.

СЛАУ (2.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае, СЛАУ называется неоднородной.

Упорядоченный набор чисел (с₁, с₂, …, с_n), обращающий каждое из уравнений системы в тождество, называется ее решением.

Существую СЛАУ которые имеют решение (одно или не обязательно одно) и не имеют решения. Для СЛАУ (2.1) имеет место три варианта:

СЛАУ

Не имеет решения

Имеет единственное решение

Имеет бесчисленное множество решений

СЛАУ несовместна

СЛАУ неопределена

СЛАУ определена

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – система несовместная.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Нетрудно понять, что решение СЛАУ полностью определяется коэффициентами системы и свободными членами. Поэтому встает вопрос: можно ли отдельно исследовать их, записав в виде компактных таблиц, а не переписывать каждый раз СЛАУ? Оказывается можно. Таблицы, которыми пользуются при решении СЛАУ, назвали матрицами.