Контрольные вопросы по теме
Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Метод непосредственного интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Определение определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Понятие несобственного интеграла первого рода. Сходимость и расходимость. Геометрический смысл несобственного интеграла.
Понятие несобственного интеграла второго рода.
Площадь плоской фигуры
Длина дуги кривой
Объем тела вращения.
Тема 8.
Дифференциальные уравнения
Лекция 8.1.
Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
Время -2 а.ч.
План:
Понятие дифференциального уравнения и его решения.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.
При решении задач
математики, физики, химии и других наук
часто используют математические модели
в виде уравнений, связывающих в качестве
неизвестной некоторую функцию
и ее производные различных порядков.
Одно из наиболее простых дифференциальных
уравнений-уравнение вида
,
лежит в основе задачи интегрального
исчисления, т.е. задачи нахождения
функции, если известна ее производная.
Очевидно, что решение рассматриваемого
уравнения будет функция, определяемая
через интеграл
.
Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.
Пример 8.1: Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:
где
– скорость распада, а k
– некоторая положительная постоянная,
характеризующая данное вещество. (Знак
«минус» в правой части указывает на то,
что x
убывает со временем; знак «плюс» означал
бы, что x
возрастает со временем).
Пример 8.2 Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90 С находится в помещении, температура в котором равна 20 С, то
где T – температура кофе в момент времени t.
Пример 8.3: Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:
где члены ax и by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон).
После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию.