Задания для самостоятельной работы

Применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы:

1.

2.

Ответы:

1	2	3
	2,5

3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции

Одно из самых важных применений производных состоит в том, что с их помощью можно проводить исследования функций, находить промежутки возрастания и убывания, экстремальные значения функции, а также наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на отрезке.

Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функций

Теорема 6.7. (необходимое условие возрастания функции). Пусть функция дифференцируема на и возрастает на данном интервале, то производная функции на этом интервале неотрицательна, т.е.

Доказательство. Рассмотрим функцию - возрастающую на интервале Возьмем произвольную точку и зададим приращение так чтобы Определим отношение Из условия возрастания функции следует, что

при , т.е.

при , т.е.

Отсюда ясно, что так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция имеет производную в точке и переходя к пределу отношений приращений (строгое неравенство заменяется на нестрогое), получим Теорема доказана.

???????

Теорема 5… (Необходимый признак убывания функции)

Если дифференцируемая на интервале функция убывает, то производная функции на этом интервале неположительна, т.е для .

Итак, для дифференцируемой функции необходимое условие монотонности кратко может быть записано следующим образом:

-возрастает -убывает

Геометрическая интерпретация теорем:

Необходимые признаки возрастания (убывания) функции	Достаточные признаки возрастания (убывания) функции
Th.	Th. Если дифференцируемая на интервале функция f(x) имеет для , то эта функция возрастает на интервале .
Th.	Th. Если дифференцируемая на интервале функция f(x) имеет для , то эта функция убывает на интервале .

Пример: Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Решение:

1. Функция определена на .

2.

3.

4.

Ответ: данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервале .

Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной

Время -2 а.ч.

План:

1. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

2. Асимптоты графика функции.

3. Общая схема исследования функции.

……. (сам-но)

Контрольные вопросы

1. Определение производной функции.

2. Механический, геометрический и экономический смысл производной.

3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функций.

4. Основные правила и формулы нахождения производной.

5. Определение дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.

6. Геометрический смысл дифференциала и его свойства.

7. Теорема Ферма.

8. Теорема Роля.

9. Теорема Лагранжа.

10. Теорема Коши.

11. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

12. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции.

13. Точки экстремума.

14. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

15. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции.

16. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точек перегиба.

17. Асимптоты графика функции, их виды.

18. Общая схема исследования функции.