Лекция №№ 4-7 Векторы, линейные операции над векторами. Линии первого порядка на плоскости.

 

 

 

4.1. Векторы. Основные понятия и простейшие действия над векторами. Базис и координаты.

 

Определение: Вектором называется направленный отрезок на плоскости или в пространстве.

 

Обозначается а, АВ.

 

 

 

   а                            А          В

 

 

Длина отрезка АВ называется длиной вектора или его модулем, обозначается │АВ│, а. Точка А-начальная точка вектора, точка В-конечная точка вектора.

К линейным операциям над векторами относятся операции сложения и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора а и в. Суммой (а+в) векторов а и в называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора в, при условии, что вектор в приложен к концу вектора а.

Правило сложения векторов, которое содержится в этом определении, называется “правилом треугольника”.

                        в

    а

 

                   а+в

 

 

Если же два вектора а и в отложить из одной точки и достроить их до параллелограмма, то сумма а+в совпадает с большой диогональю параллелограмма, а разность а-в с меньшей диогональю. Это правило называют правилом параллелограмма.

 

              а       в

 

 

Пусть заданы произвольный вектор а и некоторое число λ. Произведением вектора а на число λ называется новый вектор, удовлетворяющий следующим условиям׃

 

1)     Если λ>0, то направление нового вектора совпадает с направлением данного вектора. Если λ<0, то направление нового вектора противоложно направлению данного вектора.

2)     Длина нового вектора равна │λ│ │а│. Если а=0 или λ=0, то результатом этого действия является ноль-вектор.

 

Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Условие коллинеарности: вектор а коллинеарен ненулевому вектору в тогда и только тогда, когда существует и причем единственное число λ, что имеет место равенство а =λ·в.

Пусть даны векторы а₁, а₂,...а_n.  Любой вектор вида: α₁a₁₊α₂a_2+,...α_na_n , где α_1,α_2,...α_n–некоторые действительные числа, называется линейной комбинацией векторов а_1,а_2,...а_n. Числа α_1,α_2,...α_n называются коэффициентами линейной комбинации. Если а=α₁a₁₊α₂a_2+,...α_na_n ,то говорят, что вектор а разложен по векторам а_1,а_2,...а_n.

Любая  пара неколлинеарных векторов плоскости, взятых в определенном порядке, называется базисом на плоскости.

Справедливо утверждение: любой вектор а на плоскости может быть разложен по векторам ℓ₁ и ℓ₂ базиса этой плоскости. Причем это разложение единственно.

Другими словами, или на плоскости выбран базис ℓ₁, ℓ₂ и записывается в скобках а порядке следования а={α_1,α ₂}.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.

Справедливо утверждение: любой вектор а в пространстве может быть разложен по векторам ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃ базиса пространства , причем это разложение единственно.

 

а=α₁ℓ₁₊α₂ℓ_2+,...α₃ℓ_3.

 

Пусть в базисе (ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃) даны векторы а={α_1,α ₂ α ₃  } и в={β_1,β_2,β₃}. Справедливы следующие правила:

1)     Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов,т.е.

 

а+в={ α₁₊ β₁ ;α₂₊ β₂ ;α₃₊ β₃}

 

2)     Каждая  координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т.е.

 

а-в={ α₁ -β₁ ;α₂ - β₂ ;α₃  - β₃}

 

3)     Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число, т.е.

 

 λа={ λα₁ ; λα₂ ; λα₃}.

 

Базис (ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃) называется прямоугольным, если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ℓ₁  =i, ℓ_2, =j ,ℓ₃=k. (i¸j¸k-орты)

Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса (ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃). Точка О называется началом координат; прямые ОХ,ОУ,ОZ, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая- осью абсцисс, вторая-осью ординат, третья-осью аппликат. Плоскости, проходящие через пару координатных осей, называются координатными плоскостями. Декартова система координат на плоскости опредедяется как множество , состоящее из точки О и базиса (ℓ₁, ℓ_2, ).

Декартова система координат называется прямоугольной, если базис её-прямоугольный.

Пусть А(x₁ ;y₁ ;z₁) и B(x₁ ;y₁ ;z₁) –две произвольные точки пространства, то координаты вектора АВ равны х =x₂-x₁ , у=у₂ -у₁ , z= z₂ - z₁  ,т.е.

 

АВ={x₂-x₁;у₂-у₁;z₂-z₁}                                                                                    (1)

 

Расстояния между двумя точками  А(x₁ ;y₁ ;z₁)  и  B(x₁ ;y₁ ;z₁) вычисляется по формуле

 

                                                              (2)

 

В частности , если точка М делит отрезок АВ пополам, то формулы для определения координат точки М записывается следующим образом:

 

х=(х₁+х₂)/2 ; у=(у₁ +у₂ )/2; z= (z₁ + z₂)/2                                                         (3)

 

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и в называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается а∙в или (а∙в), т.е.

 

 а∙в=|а|∙|в|∙cosφ                                                                                               (4)

где φ=(а,в), o≤φ≤π.

 

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведения их принимается равным нулю.