Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
При решении многих задач требуется
найти функции
,
которые удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений, содержащих
аргумент, искомые функции
и
их производные.
Рассмотрим систему уравнений первого порядка:
(1)
где - искомые функции, - аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Проинтегрировать систему- это значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям. Рассмотрим на примере.
Пример 15:
Проинтегрировать систему при заданных начальных условиях
(б):
(а)
Дифференцируя по
первое
уравнение, получим:
.
Подставим из (а)
и
,
тогда
(в).
Из первого уравнения системы (а) найдем
(г)
и подставим в (в):
Пример 16:
Дифференцируем первое уравнение по :
Из первого и второго уравнения
и
Из первого уравнения
,
=?
Из второго уравнения
Практические занятия к теме 10.
Пример 1:
Пример 2:
Производим замену: .
Тогда
Пример 3:
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
2 является корнем характеристического уравнения
,
поэтому частное решение ищем
в виде
.
3. Пусть правая часть уравнения (1)-
тригонометрическая функция вида
.
Тогда и частное решение следует искать
в виде
.
Пример 7:
Пример 8:
Если же
и
,
то решение находится
в
виде
,
.
Здесь
.
Если правая часть уравнения (1) представляет
сумму рассмотренных типов функций, т.е.
,
то частное решение этого уравнения
равно сумме частных решений, полученных
отдельно для каждого слагаемого.
Пример 9:
Теперь по отдельности:
.
т.к.
является
корнем характеристического уравнения,
то
.
Пример 10:
Правая часть
,
т.е.
или
Пример 11:
- не является корнем характеристического уравнения,
то
.
Контрольные вопросы и задания к теме 10.
1. Дать определение дифференциального уравнения.
2. Что называется интегральной кривой.
3. Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения.
4. Что называется порядком дифференциального уравнения.
5. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.
6. Частное решение дифференциального уравнения.
7. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка.
8. Теорема о существования и единственности решения дифференциального уравнения.
9. Уравнение Бернулли.
10. Линейные дифференциального уравнения второго порядка.
11. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения.
12. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.
Задания к теме 10.
1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
2. Решить однородное дифференциальное уравнение.
3. Решить линейное дифференциальное уравнение.
4. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка.
5. Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Вариант №1.
1.
2.
3.
при
.
4.
при
.
5.
Вариант №2.
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант №3.
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант №4.
1.
2.
3.
4.
при
.
5.
при
.
Вариант №5.
1.
2.
3.
4.
5.
при
при
.