5.2. Основные правила дифференцирования.

 

1. Если функции U(x) и (x) дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале , т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

2. Если функций U(x) и (х) диффференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале  или короче 

3. Пусть функции и диференцируемы на интервале (a;b). Если 0,то или короче

 

.

4. y=CU(x), постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.

 

Таблица производных

 

у = сonst; y’=0	; y’=
;
y=sinx; y’=cosx	y=cosx; y’= -sinx;
y=tgx; y’=	y=ctgx; y’= -
y=a; y’ = alna	y=e;  y’= e
y=log; y’=	y=lnx, y’=
y=arcsinx; y’=	y=arccosx;  -
y=arctgx; y’=	y=arcctgx;

  

5.3. Производные высших порядков

 

Пусть функция  дифференцируема отрезке [ a, b ] значения производной , вообще говоря, зависит от х, т. е. производная  представляет собой тоже новую функцию от х.

Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую производную 2-го порядка или вторую производную от первоначальной функции, и обозначается символом  или (х):

 Пример:

 Производная от второй производной называется производной 3-го порядка или 3-й производной от функции обозначается через или

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется  производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом или .

Производная 4,5 и высших порядков обозначаются также (римские цифры)

Пример:

 

Пример:

 

5.4. Дифференциал.

 

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [a,b] определяется равенством:

 

 Отношение при  стремиться к определенному числу  и следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую:

 =, где при

 Умножая последовательно равенство на  получим:

                                                                                                             1)

 т.к. в общем случае 0, то при постоянном х и переменном произведение  есть бесконечно малая величина первого порядка относительно . Произведение же есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно , т.к.

 

 Таким образом, приращение функции состоит из 2-х слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно произведение называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x).

Таким образом, если функция y=f(x) имеет произведение на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy

 

                                                                                                                            (2)

 Найдем дифференциал функции y=x, в этом случае

 ,

 и следовательно, dy = dx = или dx = . Таким образом, дифференциал dx независимого переменного х совпадает с его приращением . Равенство dx =  можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независимого переменного, и тогда рассмотренный пример показал бы, что это не противоречит определению дифференциала функций. В любом случае формулу (2) можем записать так:

 

Но из этого соотношения следует, что

 Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так:

                                                                                                                           (3)

 Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно dy  и

 

 Поэтому в приближенных вычислениях иногда используют приближенное равенство:

                                                                                                                                    (4)

или в развернутом виде

                                                                                                   (5) 

                                                                                                 (6)

 что значительно сокращает вычисления.

 Пример:

 Найти дифференциал dy и приращениефункции

1) при произвольных значениях х и

2) при х=20, =0

 Решение:

1)

dy=(x²)’ =2x

2)если х=20, =0,1

=2*20*0,1+0,1²=4,01

dy = 2*20*0,1=4

 Погрешность при замене  на dy равна 0.01 (можно считать очень малой по сравнению с 4.01 и пренебречь).

 Пример:

 f(x)=, то формула (6)

дает:

если: х=1, =, то

 Задача нахождения дифференциала функций равносильна нахождению производной, поэтому основные теоремы и формулы сохраняют свою силу и для дифференциалов.

1.       Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций U и  равен сумме дифференциалов этих функций:

2.       Дифференциал произведения 2-х дифференцируемых функций U и  определяется формулой:

3.       Дифференциал частного 2-х дифференцируемых функций U и , причем , определяется формулой: , то dy

4.      d(cu)=cdu

 Пример:

1)

2)

 3), найти dy

Представим данную функцию как сложную

 у = sin U, U=

, но т.к. то или

Из примера 3) можно записать важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала: форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.