5.5 .Геометрический смысл дифференциала.

 

Рассмотрим функцию у=f(x) и соответствующей ей кривую.

 Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М (х;y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через  угол, который касательная образует с положительным направлением оси ОХ. Дадим независимому переменному приращение , тогда функция получит приращение . Значениям , на кривой будет соответствовать точка . Из  находим: , т.к. , то , но согласно определению дифференциала , таким образом .

Последнее равенство означает, что дифференциал функции , соответствующий данным значениям х и , равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке х.

1.

2. Найти приближенные значения функции  при  исходя из ее точного значения при .

Практические занятия к теме 5.

 

1. Найти производные следующих функций:

 

Решение:

 

А) Вводя дробные и отрицательные показатели, будем иметь:

Применяя правило дифференцирования степеней функции, получим

,

Б) применяя правило дифференцирования произведения 2-х функций, находим

В) применяем правило дифференцирования дроби,

Г)

 

Если у является функцией от переменной u, a переменная u в свою очередь является функцией от переменной х, т. е.  и , то функция называется функцией от функции или сложной функции. Переменная и в этом случае называется промежуточным аргументом. Например, функция является сложной функцией; эту функцию можно представить как:  где  

Производная сложной функции, где  по аргументу х равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу u на производную функции  u(x) по независимой переменной х, т. е.  

 

2) Найти производные следующих функций:

 

Решение

a)

б)  

в)

г) .

д)

е)

ж)

з)

 

3) Найти дифференциалы следующих функций

 

 

 

Решение

б)

 

Контрольные вопросы и задания к теме 5.

 

1. Понятие дифференцируемой функции в точке.

2. Понятие производной, обозначение производной.

3. Понятие дифференциала функции, обозначение.

4. Понятие касательной к данной кривой в данной точке.

5. Понятие нормали к данной кривой в данной точке.

6. Геометрический, механический и экономический смысл производной.

7. Геометрический и механический смысл дифференциала.

8. Правила дифференцирования суммы, произведения частных 2-х функций.

9. Таблица производных.

10. Производная от обратной функции.

11. Производная от сложной функции.

12. Что называется производной второго порядка

13. Понятие производной и дифференциала высших порядков.

14. Вычислить производные следующих функций.

1.

2. Найти дифференциалы следующих функций:

3. Найти приближенные значения функции при  исходя из ее точного значения при .

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

 в точке М(1;-1)

5. Из уравнения кривой найдем производную:

, т.е.

 

Следовательно,

 6. Уравнение касательной

 или  

7. Уравнение нормали

y+1=-4(x-1), или

 

Задания к теме 5.

 

Найти производные функции:

1)

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) ;

39) ;

40) ;

41) ;

42) ;

43) ;

44) ;

45) ;

46) ;

47) ;

48) ;

49) ;

50) ;

51) ;

52) ;

53) ;

54) ;

55) ;

56) ;

57) ;

58) ;

59) ;

60)

61) ;

62) ;

63) ;

64) ;

65) ;

66) ;

67) ;

68) ;

69) ;

70) ;

71) ;

72) ;

73) ;

74) ;

75) ;

76) ;

77) ;

78) ;

79) ;

80) ;

81) ;

82) );

83) ;

84);

85);

86);

87);

88);

89) ;

90) ;

91) ;

92) ;

93) ;

94) ;

95) ;

96) ;

97) ;

98) ;

99) ;

100) ;

101) ;

102) ;

103) ;

104) ;

105) ;

106) ;

107) ;

108) ;

109) ;

110) ;

111) ;

112) ;

113) ;

114) ;

115) ;

116) ;

117) ;

118) ;

119) ;

120) ;