7.4. Интегрирование рациональных дробей.

 

Рациональной дробью называется дробь ,

где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Рациональные дроби называются неправильными, если степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильными, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и некоторой правильной дроби.

 

1. ;

2.

Интегрировать целую часть уже умеем, поэтому ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены 1-ой и 2-ой степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

 

                                 (3)

и

,                                               (4)

 

;

 

Любой интеграл вида (4) сводится к нахождению одного или двух интегралов следующего вида:

 

а.	б.
в.	г.
д.	е.

 

Поэтому сначала рассмотрим эти интегралы. Интегралы а), б), е) являются табличными.

Интеграл г)    решается заменой переменной  , dt=dx.

 

Интеграл д)    преобразуем:

.

 

Интеграл е)  решается также заменой переменной , dt=2xdx, .

 

Отсюда:

 

.

 

Для того, чтобы интегралы вида  привести к одному из интегралов группы (5), в знаменателе подинтегральной функции выделяют полный квадрат.

 

Рассмотрим на примерах.

 

12.

13.

интегралы типа д), б) из группы интегралов (5)

 

 

7.5. Метод неопределенных коэффициентов в интегрировании рациональных дробей.

 

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби  т.е. интеграл .

Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена М(х) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представим в виде суммы простейших дробей, согласно следующей теореме:

Теорема: Если: F(x) = (x-a)^α....(x-b)^β  (x²+px+q)^μ....(x²+lx+s)^ν, то дробь   может быть представлена в виде:

                  (5)

 

Коэффициенты А, А1,…..В,В1 можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, А1, В, В1, Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой  частях равенства после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях х. Придавая х частные значения, получим уравнение для определения коэффициентов.

Из результатов формулы (5) следует, что вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x).Возможны следующие случаи: