Методы интегрирования

Интегрирование функций сводится к применению табличных интегралов. (Решить интеграл – значит свести его к табличному виду). Умение интегрировать состоит в том, чтобы с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подинтегральное выражение к «табличному», или хотя бы сначала упростить. Для этого применяют различные методы интегрирования. Непосредственным методом мы уже прорешали несколько примеров. Один из наиболее применяемых методов – метод подстановки или метод замены переменной.

  

7.2. Метод замены переменной.

 

1.      Метод замены переменной при нахождении неопределенного интеграла ∫f(x)dx состоит в применении формулы:

x=(t),dx=φ'(t)dt = >∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt,             (1)

где х=φ(t) – дифференцируемая функция.

Формула (1) означает, что нахождение ∫f(x)dx сводится к нахождению другого интеграла, в котором подынтегральное выражение зависит от переменной t. Он получается заменой переменной по формуле х=φ(t). Однако общего правила выбора функции φ(t) нет.

При удачном выборе этой функции может оказаться, что новый интеграл проще и даже является табличным. В последнем случае выполняют интегрирование и находят первообразную как функцию переменной t. После замены этой переменной ее выражением через х получается искомый интеграл.

 

Покажем применение формулы (1) на примере:

 

Пример

 

7.  ?

;

  

7.3. Метод интегрирования по частям.

 

В дифференциальном исчислении была получена формула дифференциала произведения двух функций:

d(uv) = udv+vdu

udv = d(uv)-vdu

  

Проинтегрируем обе части

∫udv=uv-∫vdu                (2)

 

формула интегрирования по частям, где u=u(x), v=v(x) - функции, зависящие от х. Смысл формулы (2) состоит в том, чтобы в результате ее применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще. Для применения формулы интегрирования по частям, подинтегральное выражение следует разбить на два множителя. Один из них обозначается u, а остальная часть обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du, а интегрированием – функция v. При этом за u следует брать такую часть подинтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv – такую часть подинтегрального выражения, которая легко интегрируется.

 

Пример:

 

8.

   

 

Иногда этот метод приходится применять несколько раз, дополняя другие способы интегрирования.

 

9.

= -x²cosx + 2(xsinx-sinxdx) =

= -x²cosx + 2xsinx - 2sinxdx = -x²cosx + 2xsinx + 2cosx + C;

 

10.

;

 

11.

;

 

Получим

 

 

Решим полученное уравнение относительно интеграла

 

:

;

.

Метод интегрирования по частям применяется при нахождении неопределенных интегралов вида:

 

1. ∫P(x) e^αx dx, ∫P(x)sinmxdx,  ∫P(x)cosmxdx

2. ∫P(x)lnxdx, ∫P(x)arcsinxdx, ∫P(x)arccosxdx, ∫P(x)arctgxdx,  ∫P(x)arcctgxdx,

где P(x) означает многочлен n-й степени.

Применяя формулу (2) к интегралам первой группы, за u следует принять многочлен P(x), а за dv – остальную часть подынтегрального выражения. В интегралах второй группы за u принимается lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, а за dv – выражение P(x)dx.

Рассмотренные общие методы интегрирования применяются нешаблонно. Кроме того, часто бывают необходимы предварительные алгебраические преобразования подинтегральной функции. Каждый интеграл требует индивидуального подхода, необходимы определенные навыки в интегрировании, а часто и сообразительность. Однако имеются и типовые приемы преобразований определенных видов или классов подинтегральных функций для приведения их к табличным интегралам или для последующего применения общих методов интегрирования. Рассмотрим интегрирование некоторых видов таких функций: простейших рациональных дробей, простейших иррациональностей и тригонометрических функций.