Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами.

 

Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение ІІ порядка

                                                         (6)

в котором  и - постоянные величины. Как следует из теоремы 2, для получения общего решения этого уравнения достаточно найти два его линейно независимых частных решения.

Будем искать их в виде

Тогда  Подставив выражения  в (6), имеем:

, т.к.                          (7)

Квадратное уравнение (7) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, функция  является частным решение уравнения (6), если - корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение (7) имеет два корня. В зависимости от  этого уравнения, который равен , корни могут быть:

1) : действительные и различные

2) : действительные и равные

3) : комплексные (обязательно сопряженные)

Рассмотрим их.

1. ( ) - корни характеристического уравнения действительные и различные, . Тогда функции  и - частные решения уравнения (6), причем линейно независимые. В силу теоремы (2), функция  служит общим решением дифференциального уравнения (6).

2. ( ) - корни характеристического уравнения равные, . Поэтому получаем только одно частное решение уравнения (6), им служит функция .

Покажем, что другим частным решением уравнения (6) является функция , т.к. при  : . Найдем .

3. ( ) – корни характеристического уравнения комплексные, их можно представить в виде . В этом случае частными решениями уравнения (6) являются функции . Точно так же проверяется.

Общее решение уравнения (6) равно:  .

Случай, когда корни характеристического уравнения - чисто мнимые. Это имеет место тогда, когда  и уравнение имеет вид: . Характеристическое уравнение имеет вид: .

Корни .

Решение будет следующим: .

 Пример 9:

  .

Найти частное решение при

.

 Пример10:

       

 Пример11:

       

 Пример12:

 

                                                                      

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

Из теоремы 2 следует, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка необходимо найти какое-нибудь его частное решение и общее решение соответствующего ему однородного уравнения: .

В предыдущей теме мы рассматривали, как находится общее решение однородного уравнения, т.е. . Следовательно, теперь будем находить какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения

                                        (1)

Покажем, как подбирается частное решение этого уравнения в зависимости от вида функции  в тех случаях, когда она представляет собой многочлен, показательную или тригонометрическую функцию.

1.Пусть правая часть уравнения (1) – многочлен второй степени . Будем искать частное решение уравнения (1) также в виде многочлена второй степени . Задача состоит в определении коэффициентов . Для этого находим первую и вторую производные функции , затем подставляем в уравнение (1).

 

при

.

 

При  частное решение следует искать в виде

.

Опять вычисляем .

 

Если же  то уравнение имеет вид: . Это уравнение решается непосредственным интегрированием.

 Пример13:

 

 Пример14:

 

 

2. Пусть правая часть уравнения (1)- показательная функция, т.е. . Тогда и частное решение будем искать в виде показательной функции .

т.к. ,

если , то .

Если же - однократный корень характеристического уравнения, т.е. , то частное решение уравнения (1) следует искать в виде .

/делим на

т.к. .

Если же  (это означает, что является двукратным корнем характеристического уравнения), то означает решение уравнения (1) ищем в виде .