7.7. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Рассмотрим интеграл
где
R - рациональная функция
от своих аргументов.
Пусть R- общий заменитель
дробей
Сделаем подстановку:
Тогда каждая дробная степень х выразиться через целую степень t и, следовательно, подинтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
Пример 1.
Интегралы вида
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
где R- общий знаменатель
дробей
Пример 2.
Интегралы вида
можно
решить следующим образом.
Например:
Практические занятия к теме 8.
1.
;
2.
;
применено свойство 5;
3.
;
4.
.
5.
.
6.
;
7.
8.
;
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. Вычислить
.
Решение:
Это интеграл типа 1. НОК чисел 3 и 2 равно
6, поэтому делаем подстановку
18.
Вычислить
.
Решение:
Так как
,
а
,
выберем подстановку (1) 
,
откуда
.
19. Найти неопределенный интеграл
.
Решение:
Чтобы сделать подстановку, приводящую
к интегралу от рациональной функции,
нужно преобразовать подинтегральную
функцию так, чтобы она содержала корни
любой степени, но из одной и той же дроби
.
Поэтому преобразуем подинтегральное
выражение, выделяя
.
Имеем:
Применяем подстановку
Делая замену переменной в неопределенном интеграле, получаем:
20.
Вычислить
.
Решение:
Применим подстановку
тогда
Тогда
Делаем обратную подстановку, выражая
через
x. Для этого в прямоугольном
треугольнике один из острых углов
обозначим через t.
=
Контрольные вопросы и задания к теме 8.
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства.
3. Таблица неопределенных интегралов.
4. Методы интегрирования:
2.1) Метод замены переменной.
2.2) Интегрирование по частям.
2.3) Интегрирование рациональных функции
2.4) Метод неопределенных коэффициентов в интегрировании рациональных дробей.
2.5) Интегрирование некоторых классов тригонометрических функции.
2.6) Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Задания к теме 7. Вычислить интегралы:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
31.
|
32.
|
33.
|
34.
|
35.
|
36.
|
37.
|
38.
|
39.
|
40.
|
41.
|
42.
|
43.
|
44.
|
45.
|
46.
|
47.
|
48.
|
49.
|
50.
|
51.
|
52.
|
53.
|
54.
|
55.
|
56.
|
57.
|
58.
|
59.
|
60.
|
61.
|
62.
|
63.
|
64.
|
65.
|
66.
|
67.
|
68.
|
69.
|
70.
|
71.
|
72.
|
73.
|
74.
|
75.
|
76.
|
77.
|
78.
|
79.
|
80.
|
81.
|
82.
|
83.
|
84.
|
85.
|
86.
|
87.
|
88.
|
89.
|
90.
|
91.
|
92.
|
93.
|
94.
|
95.
|
96.
|
97.
|
98.
|
99.
|
100.
|
