На основании признака Даламбера

;

Ряд сходится, если 

 ряд сходится при , расходится при

 т.е при ,  

 

 

  расх                               сход                                           расход                  х

 

                                -5                                          -1

 

При

 

получаем знакочередующийся ряд Лейбница  следовательно в т.  ряд сходится.

 

При х = -1

 -гармонический ряд,  который расходится.

Итак, ряд  - сходится при , расходится при .

 

Степенной ряд. Разложение функции в ряд Тейлора-Маклорена.

 

Если функция  допускает в некоторой окрестности  точки а раз положение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид:

                       (1)

При  ряд Тейлора называют рядом Маклорена:

Равенство (1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора

 

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Лагранжа: 

 ;  

Необходимо знать следующие пять основных разложений:

I.           

II.       

III. …         

IV.      

V.         

 

Пример:

 

Вычислить с точностью до  интеграл

путем предварительного разложения подинтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования.

Разложим подынтегральную функцию  в ряд, используя формулу

      

Ошибка  (точность вычисления) не превосходит первого выкидываемого члена полученного ряда, т.е.

  

Ряд Фурье. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.

 

Если т.е. ;  то существуют числа

; , называемые коэффициентами Фурье функции ;

ряд                              (1)

называется рядом Фурье функции .

Члены ряда (1) можно записать в вида гармоник:

, где - амплитуда,

частота  фаза .

Если же , то коэффициенты Фурье записываются в виде:

; , а ряд Фурье- в виде:

 

Пример:

 

Р азложить в ряд Фурье функцию   на

 

                                                              х

                                                              π

          - 3π      - 2π       - π                    π          2π         3π                        у                                                                    

                                                                 

     четная ;

=

;     ;     ;       ;        ,

;

При       

Практические занятия к теме 11.

Пример 1.

 

Исследовать сходимость ряда.

 

, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие).

Пример 2.

Разложить в ряд функцию:

 

Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функции; он является аналитически заданием новой функции, но посредством не конечного, а бесконечного числа операций.

 Пример 3.

 

Исследовать сходимость ряда.

 

 При     ряд расходится

То же самое будет и при  

Итак, область сходимости данного ряда

 

Пример 4:

 

       .  Разложить в ряд Фурье.

 -нечетная.                            у  

 

                                                     π

                                                                                                                                 

 

- 3π      - 2π        - π              π         2π        3π                                                                           x

 

 

 

,   

 Пример 5.

Исследовать сходимость ряда

    т.к.   , то ряд расходится.