Лекция №№ 15-17 Неопределенный интеграл.

 

7.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства.

Таблица неопределенных интегралов.

 

Определение: Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x).

 

Например, найти первообразную от  функции f(x) = х². Из определения первообразной следует, что

 

, т.к. .

 

Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной. Так в предыдущем примере можно взять в качестве первообразных следующие функции:

 

  или вообще     ;

(C – произвольная постоянная), т.к.

 

.

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида   исчерпываются все  первообразные от функции х² .

 

Определение: Если функция F(x) является первообразной для f(x), то совокупность всех первообразных F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символами ∫f(x)dx.

 

Таким образом, по определению ∫f(x)dx = F(x) + C, если F’(x)=f(x).

При этом функцию f(x) называют подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением, знак ∫- знаком интеграла.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций

y = F(x) + C.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу.

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существуют первообразные (а значит и неопределенный интеграл)?

На этот вопрос отвечает следующая

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то для этой функции существуют первообразная (а значит и неопределенный интеграл).

Нахождение первообразной и отыскание неопределенного интеграла для функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

 

 

Из определения неопределенного интеграла следуют следующие свойства:

 

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е. (∫f(x)dx)’ = (F(x)+c)’=f(x)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(∫f(x)dx) = f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная ∫dF(x) = F(x)+C.

4. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная С F’(x)dx=F(x)+C.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов (если каждый из них существует)

6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫аf(x)dx = а ∫f(x)dx.

7. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то

8. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то ∫f(x+b)dx = F(x+b)+C.

9. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то .

Непосредственно из определения интеграла и таблицы производных вытекает таблица интегралов.

 

Таблица интегралов.

 

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.

 

 

Рассмотрим примеры:

 

1.  (по формуле 1);

2.

3.  (свойство 7);

4.    (свойство 9);

 

Таблица интегралов записана для переменной интегрирования х, однако она также справедлива, если заменить х на другую переменную, которая может быть и некоторой функцией.

 

Например

 

5. ;

6. ;