4.2. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

 

1.      Два ненулевых вектора а и в перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равна нулю, т.е. а∙в=o

2.      Два ненулевых вектора а и в только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно) т.е. аo∙в<o).

3.      а∙в=в∙а (переместительный закон).

4.      (λа)∙в=λ(а-в) (сочетательный закон по отношению к умножению вектора на число).

5.      а∙(в∙c)=а∙в+а∙c (распределительный закон по отношению к сумме векторов).

6.     

Выражение а∙а называют скалярным квадратом и обозначают а² .

7.      Если два вектора а и в определены своими координатами

а={x₁ ;y₁ ;z₁}, в={x₁ ;y₁ ;z₁}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

 

а∙в=х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂                                                                                     (5)

 

Длина вектора а=(x₁ ;y₁ ;z₁) вычисляется по формуле

Угол между векторами  а={x₁ ;y₁ ;z₁} и в={x₂;y₂ ;z₂} определяется по формуле

 

                                                                    (6)

 

Пусть а={x₁ ;y₁ ;z₁} –ненулевой вектор, α,β,γ-углы между этим вектором и ортами i, j, k соответственно. Тогда cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора а.

Направляющие косинусы вектора а={x₁ ;y₁ ;z₁} находится по формулам:

 

                    (7)

 

Они удовлетворяют тождеству cos²α+ cos²β+ cos²γ=1 и являются координатами единичного вектора, сонаправленного с векторами а.

 

Определения. Векторным произведением  ненулевых векторов а и в называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям:

 

1.  длина вектора с равна произведению длин векторов а и в на синус угла между ними, т.е. │c│=│a│∙│в│∙sin(a,в);

2.  вектор с перпендикулярен каждому из векторов а, в;

3.  вектор с направлен так, что тройка векторов а, в, с является правой (т.е. подчиняются правилу “правой” руки).

 

Обозначается векторное произведение а*в или [а*в].

 

 

Свойства векторного произведения

 

1.  Модуль (длина) векторного произведения численно равна площади S параллелограмма, построенного на векторах а,в приведенных к общему началу (геометрический смысл векторного произведения).

2.  а*в =-в*а (антипереместительности).

3.  (λа)*в=λ(а*в) (сочетательный закон по отношению к числовому относителю).

4.  а+в*с= а*с+в*с (распределительный закон).

5.  а*а=0

6.  Если векторы а и в заданы своими координатами:

а={x₁ ;y₁ ;z₁} и в={x₁ ;y₁ ;z₁}, то их векторные произведение выражается следующей формулой:

 

                                               (8)

 

Опредедение. Смешанным произведением упорядоченной тройки ненулевых векторов а,в,с, называется число, равное скалярному произведению вектора а*в на вектор с.

Обозначается смешанное произведение а∙в∙c. Если хотя бы один из трех векторов а,в,с нулевой, то их смешанное произведение считается равным нулю.

Смешанное произведение некомпланарных векторов а,в,с, равно обьему паралеллепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а,в,с взятому со знаком плюс, если тройка а,в,с правая, и со знаком минус, если тройка а,в,с – левая (геометрический смысл смешанного произведения).

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов а,в,с является равенство нулю их смешанного произведения.