Лекционный комплекс:
ЛЕКЦИЯ №№ 1-3
Лекция №1. Тема: «Определители 2,3 порядков. Системы линейных уравнений. Метод Крамера».
Определение:
Определителем второго порядка называется
число, обозначаемое символом
(1)
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.
Пример:
Определение: Определитель третьего порядка есть число, полученное по определенному правилу
(2)
Запомнить эту формулу трудно, однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают члены определителя.
. . . . . .
+ . . . - . . .
. . . . . .
Пример:
Вычислить, пользуясь правилом треугольника, получим
Свойства определителей 3-го порядка
Значение определителя не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами, т.е.
Следовательно, строки и столбцы в определителе равноправны, и если выполняется некоторое свойство относительно строк, то такое же свойство существует и для столбцов.
Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строки или столбцы, то определитель изменит лишь знак.
Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь 2-х его строк (столбцов) пропорциональны.
Определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь 2-х его строк (столбцов) равны.
Если все элементы некоторой строки (столбца) состоят из 2-х слагаемых, то определитель равен сумме 2-х определителей, в одном из которых элементами этой строки (столбца) являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе, т.е.
Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженное на любое число λ, т.е
Свойства определителей 3-его порядка применимы и для определителей высших порядков.
Системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему, состоящую из n линейных уравнений с n неизвестными:
Правило Крамера.
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными :
Составим определитель ∆ = A из коэффициентов при неизвестных:
∆
=
,
заменив в ∆ первый столбец на столбец из свободных членов (остальные без изменения), получим ∆1:
Соответственно:
Можно доказать, что
Формула (8) называется формулой Крамера, по аналогии их можно применить и для решения систем n уравнений с n неизвестными.
При ∆ ≠ 0 система имеет единственное решение, при ∆ = 0, ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0, система имеет множество решений и если ∆ = 0, а хотя бы один из ∆i ≠ 0 (i = 1, 2, 3..), то система не имеет решения.