Контрольные вопросы и задания к теме 2.

 

1.      Определение вектора.

2.      Линейные операции над векторами.

3.      Координаты вектора,  длина вектора.

4.      Базис на плоскости, в пространстве.

5.      Коллинеарные векторы (определение)

6.      Компланарные векторы (определение)

7.      Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

8.      Скалярное произведение векторов.

9.      Выражение скалярного произведения в координатной форме.

10. Векторное произведение векторов.

11. Векторное произведение векторов в координатной форме.

12. Геометрический смысл векторного произведения.

13. Смешанное произведение векторов.

14. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

15. Геометрический смысл смешанного произведения.

16. Уравнение линии на плоскости.

17. Общее уравнение прямой.

18. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

19. Определение окружности.

20. Эллипс, определение и каноническое уравнение.

21. Гипербола. Каноническое уравнение параболы.

 

 

Задачи к теме 2

 

1.  Даны векторы:      Определить координаты следующих векторов: а)  б)

2.  Даны три вершины параллелограмма: А(2; 5; 4), В(0; 1; 0), С(4; 1; 3). Найти координаты четвертой вершины.

 

3.  Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7; 2; 4), В(4; -2; 2), С(6; -7; 8), Д(9, -1, 10) является квадратом.

 

4.  Вычислить, какую работу производит сила f={3;-5;2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора S= {2;-5;}, (Работа = f S ).

 

5.  Определить косинус угла между векторами, заданными в пространстве:

 

 

6.  Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС в каждом из случаев:

 

А(4;2;3), В(5;7;0), С(2;8;-1)

А(6;5;-1), В(12;1;0), С(1;4;-5).

 

7.  Установить, компланарны ли векторы     

8.   Найти объем тетраэдра, построенного на векторах

9.  Составить уравнение сторон треугольника, зная его вершины А(3; 5), В(6;1), С(-2;- 3).

По заданному уравнению  гиперболы найти ее полуоси, координаты фокусов, уравнение

ЛЕКЦИЯ №№ 11-14

Производная функции в точке. Таблица производных, правила дифференцирования. Дифференциал функции.

 

5.1. Механический, геометрический, экономический смысл производной.

 

Рассмотрим 3 задачи, приводящие к понятию производной.

 Задача 1.

Вычисление мгновенной скорости неравномерного движения.

Материальная точка движется прямолинейно из начального положения О. Закон ее движения описывается функцией f , выражающей зависимость пути S от времени t.

 S=f(t).

 Пусть f(t) – путь. Пройденный точкой к моменту времени t ,

F(t+∆t) –путь, пройденный его к моменту времени t+∆t. Ясно, что за отрезок времени ∆t точка прошла расстояние, равное

 

 ∆S=f(t+∆t)-f(t)                                                                                                                         (1)

 

F(t)                              f(t+∆t)

 

Разделив ∆S на ∆ t , получим величину средней скорости, с которой двигалась точка в течение указанного времени:

 

                                                                                                    (2)

 

Скорость движения в каждый конкретный момент времени может существенным образом отличаться от средней скорости. Однако, чем короче отрезок времени , тем меньше различие между этими скоростями. Поэтому для получения такой характеристики скорости в момент времени t найдем предел отношения  при условии что

 ( т. е.  отрезок стягивается в точку). Если указанный предел существует, то он дает величину скорости в момент времени t:

                                                                                              (3)

 

Задача 2

Угловой коэффициент касательной к графику функции.

Прежде всего, дадим определения секущей и касательной

 

Определение: Прямая, проходящая через точку  и  называется секущей для кривой .

 Пусть теперь т . М₂ вдоль по кривой движется в направлении точки  М_1.  При этом секущая М₁ М₂  вращается вокруг точки М₁. В момент совпадения М₂  с М₁ она примет некоторое положение М₁ Т. Прямую М₁ Т и будем называть касательной к графику функции  в точке М_1.

 

 

 

 Определение: Касательная  к графику функции  в точке М₁ называется предельное положение  М₁ Т секущей М₁ М₂  при условии, что т. М₂ вдоль по кривой стремится к М_1.

Вспомним также, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Наша задача заключить в отыскании углового коэффициента касательной.

Когда т. М₂ двигаясь по кривой приближается к точке М₁  , угол  наклона секущей М₁ М₂  к положительному направлению оси ОХ стремится к углу   наклона касательной к этому направлению. При этом в силу непрерывности тангенса tg будет стремится к tg . Из прямоугольного треугольника  М₁ М₂ N  следует, что

 

 

тогда

               

                                                                       (4)

 Задача 3

Предельные издержки производства.

Обозначим через хо объем производства  некоторой продукции, а через К – суммарные затраты или издержки производства . Производственная функции (функции затрат) описывает зависимость  издержек производства К от объема Х выпускаемой продукции:

 

K= f(x)

 

Если объем производства увеличится на  единицу, то затраты возрастут на

 единицу.

Средне приращение издержек  выражает: .

Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

 

                                                                                             (5)

 

Предел (5) выражает дополнительные затраты по производству продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет х единицу. Что же объединяет эти 3 совершенно разные по содержанию задачи?

Обратимся к равенствам (3), (4), (5). Как видно, решение каждой из задач приводит к необходимости нахождения предела отношение приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

В общем виде схема решения всех рассмотренных выше задач может быть представлена в виде следующих четырех логических шагов:

 

1. аргумент получает приращения

2. это приводит к изменению значения функции

3. вычисляется среднее приращение функции

4. находить

 

По такой же схеме решаются задачи на отыскание плотности тела в данной точке, скорости протекания химической реакции в данный момент времени, скорости изменения спроса на товар при данной цене и т.д.

 

Определение: Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, и если указанный предел существует и конечен, он называется производной функции в данной точке.

 

Обозначается:; ; ; .

Из определения производной и трех рассмотренных задач вытекает:

1. механический смысл производной в данной точке – мгновенная скорость прямолинейного движения в данный момент;

2. геометрический смысл производной в данной точке – угловой коэффициент касательной к графику функции в данной его точке;

3. экономический смысл производной в данной точке – предельные издержки производства при данном его объеме,

 

Определение: Функции, имеющие производные, называются дифференцируемыми, а процесс нахождения производных – дифференцированием.

 

Из истории: Первые попытки в создании дифференциальных исчислений были сделаны французским математиком и философом Рене Декартом (1596-1650), французским математиком и юристом Пьером Ферма (1601-1665) и другими учеными XVII в. Оформление дифференцируемого исчисления как самостоятельного раздела математики связано с именами английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого ученого, физика, математика, юриста, историка Готфрида Лейбница (1646-1716). (Тейлор, Маклорен, Леонард Эйлер, Коши, Карл Гаусс).

Свое завершение классическое дифференциальное исчисление получило в трудах немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).