Модель «Шерлок Холмс ищет работу»: отклонения от ожидаемых результатов

Вариант трудоустройства	В лучшем случае		В худшем случае
	Результат	Отклонения, ф.ст.	Результат	Отклонения, ф.ст.
№1. Инспектор в Скотланд-ярде	100	25	50	25
№2. Частный детектив на Бейкер-стрит	90	15	15	60

Значит ли это, что для Шерлока Холмса оба варианта совер­шенно равноценны? Нет, и чтобы показать это, рассмотрим инфор­мацию об отклонениях от ожидаемых результатов (см. табл. 3.2), для чего используем критерии изменчивости: дисперсию и стандарт­ное (среднеквадратичное) отклонение.

Дисперсия ‒ средневзвешенная величина квадратов откло­нений действительных результатов от ожидаемых:

σ² = ∑π_i [х_i – Е(х)]² .

В данном случае дисперсия равна:

σ² = π₁ [х₁ – Е(х)]² + π₂ [х₂ – Е(х)]² ,

где σ² ‒ дисперсия; х_i – возможный результат; π_i – вероятность соответствующего результата; Е(х) ‒ ожидаемое значение.

В нашем случае показатели дисперсии для двух вариантов сильно различаются (табл. 3.3):

σ² = 0,5(100 – 75)² + 0,5(50 – 75)² = 625;

σ²= 0,8·225 + 0,2·3600 = 180 + 720 = 900.

Подсчитаем теперь стандартное отклонение. Стандартное (сред­неквадратичное) отклонение – это квадратный корень из дuс­персии. В первом случае стандартное отклонение равно 25, а во втором ‒ 30 (см. табл. 3.3). Это означает, что второй вариант для Шерлока Холмса связан с большим риском, чем первый. Почему же тогда Шерлок Холмс не идет работать в Скотланд-ярд? Может быть, это связано с его отношением к риску?

Таблица 3.4

Модель «Шерлок Холмс ищет работу»: оценка риска

Вариант трудоустройства	Дисперсия	Стандартное отклонение
№1. Инспектор в Скотланд-ярде	625	25
№2. Частный детектив на Бейкер-стрит	900	30

В любом случае, какую бы трактовку природы вероятностей мы не приняли, важно различать математическое ожидание (предполагаемое значение) и ожидаемую полезность.

Истоки математического обоснования теории ожидаемой полезности можно встретить в работах швейцарских математиков Габриэля Крамера и Даниила Бернулли. Последний из которых предложил свое решение знаменитого Санкт-Петербургского парадокса. Парадокс формулируется следующим образом: индивиды готовы заплатить всего лишь небольшую сумму денег за участие в игре, в которой математическое ожидание выигрыша бесконечно велико. игра заключается в подбрасывании монеты до тех пор, пока не выпадет заданная ее сторона, например «орел», а размер выигрыша определяется количеством подбрасываний монеты до выпадения заданной стороны. Так, при первом подбрасывании в случае выпадения «орла» субъект «Х» выплачивает субъекту «Y» 1 доллар; во втором таком же случае «Y» получит 2 доллара; в третьем – 4 доллара, т.е. за каждый бросок с выпадение «орла» субъект «Х» выплачивает при n-ом броске 2^n-1долларов.

Вероятность (π) выигрыша в игре с подбрасыванием монеты, согласно теории вероятности, составляет 50 %, или 0,5 при каждом броске.

Математическое ожидание денежного выигрыша при первом броске составляет долларов, или 0,5 · 1 долл.= 0,5 долларов; при втором броске оно составит (0,5 · 0,5) · 2 долл. = 0,5 долларов. Общее ожидаемое значение представляет собой сумму ожиданий на каждой стадии игры и составит, следовательно, 0,5 долл. + 0,5 долл. + 0,5долл. + … Сумма этого бесконечного ряда представляет бесконечно большую величину.

Таким образом, как отмечалось выше, парадокс заключается в том, что ожидаемый денежный выигрыш в такой игре бесконечен, однако большинство людей отказывается от участия в ней. Почему же так происходит? Чтобы объяснить Санкт-Петербургский парадокс, Д. Бернулли предположил, что в данном случае индивиды стремятся к максимизации не ожидаемого денежного выигрыша, а морального ожидания, впоследствии названного ожидаемой полезностью выигрыша. А это не одно и то же.

Идеи Д. Бернулли получили развитие в работах американских экономистов Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна, которых часто называют основоположниками ожидаемой полезности. Они показали, что в условиях неполной информации рациональным выбором индивида будет выбор с максимальной ожидаемой полезностью. Ожидаемая полезность каждого варианта подсчитывается следующим образом:

,

где u_i – полезность исхода i; π_i – вероятность исхода i; n ‒ число исходов.

Затем индивид сравнивает ожидаемые полезности вариантов и осуществляет выбор, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Каково же будет его отношение к риску?

Отношение к риску. Отношение к риску различно у разных людей. Есть люди, склонные к риску, есть его противники, а так­ же те, кто к нему безразличен, нейтрален. Противни­ком риска считается человек, который при данном ожидаемом доходе предпочтет определенный, гарантированный ре­зультат ряду неопределенных, рисковых результатов. У противни­ков риска низкая предельная полезность дохода (рис. 3.1).

С ростом богатства прирост полезности уменьшается на каж­дое равновеликое прибавление богатства. Убывающая предельная полезность развивает в людях антипатию к риску. Поэтому нерасположенность к риску является типичной чертой большинства людей. Риск для них ‒ серьезное испытание, пойти на которое они готовы лишь в том случае, если им предложат определенную компенсацию.

Общая

полезность 60

55

47

30

10 20 30 40 Доход (тыс. долл.)

Рис. 3.1. Нерасположенность к риску

Нейтральным к риску считается человек который при данном ожидаемом доходе безразличен к выбору между гарантированным и рисковым результатами. Для человека, ней­трального к риску, важна средняя прибыль. Поскольку она будет равна нулю (отклонения взаимно погашается), то такая игра не вызовет у него интереса. Нейтральность к риску может быть интерпретирована как луч, выходящий из начала координат (см. рис. 3.2). Равномерное увеличение дохода вызывает и линейный рост общей полезности.

Общая

полезность

60

40

30

15

10 20 30 40 Доход (тыс. долл.)

Рис. 3.2. Нейтральность к риску

Склонным к риску считается человек, ко­торый при данном ожuдаемом доходе предпочтет связанный с риском результат гарантированному результату. Любители риска получают удовольствие от азартной игры. К ним относятся люди, которые готовы отказаться от стабильного дохода ради удовольст­вия испытать судьбу. Обычно они переоценивают вероятность вы­игрыша. Так как, ставки возрастают с ростом дохода, то графичес­ки предрасположенность к риску может быть интерпретирована как парабола, резко поднимающаяся вверх (рис. 3.3).

Общая

полезность

64

30

12

3

10 20 30 40 Доход (тыс.долл.)

Рис. 3.3. Склонность к риску

3.2.2. Снижение риска

Существует четыре способа (метода) снижения риска:

1. диверсификация;

2. объединение рис­ка или страхование;

3. распределение риска;

4. поиск информации.

Диверсификация ‒ это метод, направлен­ный на снижение риска путем распределения его между несколькими рисковыми товарами, таким образом, что повышение риска от покупки (или продажи) одного означает снижение риска от покупки (или продажи) другого.

Допустим, компания "Тяни-толкай" экспортирует бронетран­спортеры и грузовики в страны Персидского залива. В случае вой­ны повышенным спросом будут пользоваться бронетранспортеры. Это принесет компании 10 млн. долл. дохода. Однако в таком случае упадет спрос на гражданскую продукцию. В частности, грузовиков в данных условиях удается продать лишь на 2 млн. долл. В ситуа­ции, когда наступает мир, положение на рынках резко меняется: растет спрос на грузовики и снижается спрос на бронетранспорте­ры (см. табл. 3.4).

Таблица 3.4