1.4.2. Теорема сложения скоростей при плоском движении

Скорость любой точки плоской фигуры складывается геометрически из

скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры относительно полюса.

Доказательство

На рисунке 1.4.3 изображено в момент времени t положение плоской фигуры(S). СкоростьV_A точкиА,принятой за полюс фигуры, считаем известной. Требуется определить скорость любой другой точки фигуры, например точкиВ.

Полагаем, что угловая скоростьωвращения фигуры также известна. Из началаО неподвижной системы координатOxyпроводим в точкиАиВрадиус- векторыи, а из точкиА в точку В– радиус-вектор. Очевидно,- векторная координата точкиВотносительно полюсаА. Во всё время движения фигуры между этими радиус-векторами сохраняется зависимость:, (1.4.2)

Дифференцируем это соотношение по времени t, получим:

или. (1.4.3)

- вектор относительной скорости точкиВво вращении фигуры относительно полюсаА- является производной по времени от радиус-вектора точкиВотносительно полюсаА.Теорема доказана.

Поскольку , то в силу, ранее установленной основной формулы (1.2.20) кинематики вращающегося твёрдого тела, имеем:

,

где вектори направлен в сторону вращения фигуры (рис.1.4.3).

В подвижной системе точкаВдвижется по окружности радиусаАВс центром в полюсеА; модуль её относительной скорости равен:. (1.4.4)

Задачи по определению скорости какой-либо точки тела, совершающего плоское движение, могут быть решены геометрически путём графического пос-троения векторного треугольника скоростей в соответствии с формулой (1.4.3).

1.4.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры

Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны.

Доказательство

Спроектируем векторное равенство (1.4.3) на ось АВ, проходящую через точкиАиВплоской фигуры (рис. 1.4.4); получим.

Поскольку скорость точкиВотносительно полюсаАперпендикулярна отрезкуАВ, то её проекция на осьАВ равна нулю:, и остаётся.

Теорема доказана.

Рисунок (1.4.4) поясняет доказательство.

Если углы наклона вектора скорости точки А и вектора скорости точки В к оси АВ известны, то теорему можно написать в следующем виде:

. (1.4.5)

1.4.4. Метод мгновенного центра скоростей (МЦС)

Скорость любой точки плоской фигуры можно определить методом полюса, т.е. геометрически по формуле (1.4.3) или аналитически по формуле (1.4.5). Особенно просто эта задача решалась бы, если бы в качестве полюса можно было бы выбрать точку фигуры, скорость которой в данный момент времени равнялась бы нулю.

Докажем, что в каждый момент времени су-ществует точка р плоской фигуры, скоростькоторой равна нулю. Эту точку называют мгно-венным центром скоростей (МЦС) рассматри-ваемой фигуры.

Пусть в момент времени t cкорость полюсаА фигуры(S)направлена так, как показано на рисунке 1.4.5. Повернём мысленно луч, по которому направлен вектор скорости, на 90⁰ в сторону вращения фигуры(S).На повёрнутом луче отметим точкурна расстоянии от полюса равном:,

где - угловая скорость фигуры S.

Скорость точки р определим по формуле (1.4.3)

,

где - скорость точкир относительно полюса А – направлена перпен-дикулярно лучуАрв сторону вращения фигуры и по модулю равна:

.

Итак, скорости иравны по модулю и направлены в противоположные стороны, следовательно:.Теорема доказана.

Свойства МЦС. В процессе движения плоской фигуры её МЦС непрерывно изменяет своё положение. Если принять МЦС за полюс, то скорость любой точки фигуры равна:.

Так как , то скорость любой точки (рис. 1.4.7) фигуры(S)равна скорости этой точкиво вращении фигуры вокруг МЦС, то есть

=,

, (1.4.6)

, и т. д.

Итак, скорости точек плоской фигуры пропорциональны длинам отрезков, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей, и направлены перпендикулярно этим отрезкам в сторону вращения фигуры.

Из рисунка 1.4.6 видно, что положение МЦС фигуры можно определить, если в данный момент времени известны направления скоростей двух её точек. Для этого достаточно через каждую точку провести по перпендикуляру к направлению скорости каждой точки. Точка пересечения перпендикуляров является МЦС фигуры.

Вопросы для самопроверки по теме 1.4

1. Какое движение твердого тела называется плоским? Какими уравнениями оно определяется?

2. Из каких составляющих слагается скорость точки плоской фигуры?

3. Сформулировать теорему о проекциях скоростей плоской фигуры.

4. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры и как определяется его положение?

5. Как распределяются скорости точек плоской фигуры в данный момент времени?

6. Решите самостоятельно задачи 16.10(16.12), 16.16(16.16), 16.29(16.30) из [3].