1.5. Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твёрдого тела

1.5.1. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки

Или сферическое движение; углы Эйлера, уравнения движения

Движение твёрдого тела, при котором одна из его точек во всё время движения остаётся неподвижной, называется сферическим или движением вокруг неподвижной точки.

При сферическом движении все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкойО. Такое движение совершает любое тело, закреплённое в некоторой точкеОшаровым шарниром.

Положение тела относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz определяют тремя независимыми углами, введёнными Эйлером. Свяжем жёстко с телом подвижную систему координат(рис. 1.5.1). Плоскостьпересекается с неподвижной плоскостьюпо прямойOK,которую называютлинией узлов. Углы, как это принято в небесной механике, называют:- угол собственного вращения,- угол прецессии,- угол нутации. Все углы отсчитываются соответственно от осейOK, Ox иOzпротив хода часовой стрелки.Функции угловых координат от времени являются уравнениями движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки:

. (1.5.1)

Дифференцируя по времени уравнения (1.5.1), получим :

угловая скорость вращения тела вокруг осиOz₁,

угловая скорость вращения тела вокруг осиOz,(1.5.2)

угловая скорость вращения тела вокруг осиОК.

На рис. 1.5.1 показаны направления и вектора угловых скоростей.

1.5.2. Скорости точек тела. Мгновенная ось вращения

Положение произвольной точки М тела определяется радиус-векторомкак функции трёх независимых переменных

. (1.5.3)

Скорость точки М тела (рис. 1.5.2) равна:, выразим её через частные производные по независимым переменным., (1.5.4)

где ,,. (1.5.5)

Подставляя выражения (1.5.5) в равенство (1.5.4), получаем

. (1.5.6)

Обозначая , (1.5.7)

окончательно получаем . (1.5.8)

Формула (1.5.8), её называют формулой Эйлера, имеет такой же вид как и формула вектора скорости точки твёрдого тела, вращающегося вокруг непод-вижной оси (формула 1.2.19). Следовательно, скорости точек твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вра-щалось вокруг неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с осью ОР.Эту ось называютмгновенной осью вращения (рис.1.5.2). Её направ-ление в каждый момент времени определяется формулой (1.5.7). Вектор угловой скоростинаправлен по мгновенной оси вращения, её называютмгновенной угловой скоростью.

Модуль скорости любой точки тела (точка Мна рис. 1.5.2), вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется равенством

, (1.5.9)

где расстояние от точкиМ тела до мгновенной оси вращенияОР. На рис. 1.5.2 пунктиром показана мгновенная траектория точкиМ и вектореё скорости, направленный по касательной к этой траектории.

Подробнее читайте [1], с. 149…152.

1.5.3.Общий случай движения свободного твердого тела

(1.5.10)

Рассмотрим общий случай движения свободного твёрдого тела, на перемещение которогоне наложено никаких ограничений. Примерами такого движения являются: движение планет солнечной системы, движение ракет. самолётов и искусственных космических объектов. Движение свободного твёрдого тела рассматриваем относительно неподвижной системы отсчёта(рис.1.5.3). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точкуАтела в качестве полюса и проведём через неё оси, которые при движении тела перемещаются вместе с полюсомА поступательно. Тогда положение тела в системе отсчётабудет известно, если будем знать положение полюсаА, т.е. его координаты, и положение тела по отношению к осям, определяемое положением осей,жёстко связанных с телом, относительно осей, т.е. углами Эйлера(рис. 1.5.1). Следовательно, уравнения движения свободного твёрдого тела, позволяющие определить его положение относительно неподвижной системы отсчётав любой момент времени, имеют вид,

. (1.5.10)

Система уравнений (1.5.10) называется уравнениями движения свободного твёрдого тела.

На основании вышеизложенного заключаем, что движение свободного твёрдоготела можно мысленно разложить на поступательное вместе с полюсом и сферическое вокруг полюса. Первое из этих движений определяется первыми тремя уравнениями (1.5.10), второе – тремя последними. Существует бесчисленное множество вариантов разложения этого движения на поступательное и сферическое. При этом параметры поступательного движения, как и в случае плоского движения твёрдого тела,зависят от выбора полюса; кинематические же характеристики сферического движения от выбора полюсане зависят.

Скорости и ускорения точек свободного твёрдого тела. Скорость произвольной точкиВравна производной её радиус-векторапо времени. Пользуясь рисунком 1.5.3, находим.

Следовательно, . (1.5.11)

Заметим, что скорость полюсаА; кроме того, векторпредставляет собой скорость точкиВотносительно подвижной системы координат, в которой тело имеет одну закреплённую точкуА.Следовательно, согласно формуле (1.5.8), имеем.

Здесь - мгновенная угловая скорость тела относительно поступательно движущейся системы координат.

Таким образом, выражение (1.5.11) можно записать в виде

. (1.5.12)

Итак, скорость любой точки свободного твёрдого тела складывается геометрически из скорости произвольно выбранного полюса и скорости этой точки во вращательном движении тела относительно полюса.Дифференцируя (1.5.12) по времени, получим формулу для определения ускорений точек свободного твёрдого тела

. (1.5.13)

Отметим, что формулы (1.5.12) , (1.5.13) имеют такой же вид как и формулы для определения скоростей и ускорений точек при плоском движении твёрдого тела, поскольку плоское движение является частным случаем движения свободного твёрдого тела.

Вопросы для самопроверки по теме 1.5

1.Почему движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой называется сферическим ?

2. Какими уравнениями определяется движение тела с одной неподвиж-ной точкой ?

3. Что называется мгновенной осью вращения тела, совершающего сфери-ческое движение ?

4. Как определяются скорости точек тела при сферическом движении?

5. Какими уравнениями задаётся движение свободного твёрдого тела?