2.3.5. Свободные затухающие колебания материальной точки

В реальных условиях свободные гармонические колебания из-за наличия сопротивления не реализуются. При небольших скоростях это сопротивление можно считать пропорциональным первой степени скорости точки.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точкипод действием восстанавливающей силыи силы сопротивления, равной

, (2.3.26)

где - постоянный положительный коэффициент, а сила сопротивлениянаправлена противоположно скорости.

Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось (рис. 2.3.5):

. 2.3.27)

Разделив уравнение (2.3.27) на и введя, кроме ранее принятого обозначения

, обозначение, (2.3.28)

приведем уравнение (2.3.27) к виду

. (2.3.29)

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что при общее решение уравнения (2.3.29) будет иметь вид

, (2.3.30)

где и- постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий и равные соответственно

; . (2.3.31)

Здесь . (2.3.32)

Постояннаяназывается циклической (угловой) частотой свободных затухающих колебаний точки. На рис. 2.3.6 представлен приграфик функции (2.3.30). Из графика следует, что материальная точка, выведенная из состояния равновесия и находящаяся под действием линейной восстанавливающей силы и линейной силы сопротивления, совершает колебания, при которых наибольшие отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают. Такие колебания называютсязатухающими.

Периодом свободных затухающих колебаний называется промежуток времени, в течение которого два последовательных отклонения точки от положения равновесия в одну и ту же сторону достигают наибольшего значения. Величинаопределяется соотношением:

. (2.3.33)

Период всегда несколько больше периода свободных гармонических колебаний, однако, это превышение при малом сопротивлении незначительно.

Нужно отметить, что свободные затухающие колебания не являются ни гармоническими, ни периодическими, поэтому об их частоте и периоде можно говорить лишь условно. Решение (2.3.30) описывает колебания с постоянной частотой , но с переменными отклонениями от положения равновесия , которые при стремятся к нулю.

Из уравнения (2.3.30) также следует, что отношение двух последовательных отклонений иколеблющейся точки, соответствующих моментам времениии отличающихся друг от друга на период, является постоянной величиной

. (2.3.34)

Иными словами, через последовательные равные промежутки времени отклонения точки от положения равновесия убывают по закону геометрической прогрессии, при этом числоназываетсядекрементом колебаний.

Натуральный логарифм декремента колебаний

(2.3.35)

называется логарифмическим декрементом колебаний.

2.3.6. Вынужденные колебания материальной точки

Рассматриваемые до сих пор свободные колебания материальной точки происходили под действием восстанавливающей силыи силы сопротивления. Эти силы не только влияют на движение точки , но и сами управляются этим движением, поскольку они зависят от координатыи скорости.

Рассмотрим случай, когда на точку, кроме этих сил, действует еще и возмущающая сила, описываемая как функция времени и не зависящая от движения самой точки. Подобные силы возникают при работе различных машин и механизмов. Будем рассматривать важный для технических приложений случай, когда проекция этой силы на осьравна

, (2.3.36)

где - амплитуда, а- частота возмущающей силы (рис 2.3.7).

Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось имеет вид.

Приведем его к виду, сохранив введённые ранее обозначения для k иn,

, (2.3.37)

где ,,.

Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, как известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решенияисходного уравнения (2.3.37), т.е..

Решение , описываемое уравнением (2.3.30), убывает до нуля при возрастанииt; частное же решение, описывающее вынужденные колебания точки, будем искать в виде

, (2.3.38)

где - амплитуда и- сдвиг фаз вынужденных колебаний, подлежащие определению.

Подставляя функцию (2.3.39) и ее производные ив уравнение (2.3.37), получим:

. (2.3.39)

Отметим, что правая часть преобразована к виду

.

Функция (2.3.38) будет частным решением уравнения (2.3.37), если она обращает это уравнение в тождество, справедливое при любом значении . Для этого коэффициенты приив правой и левой частях равенства (2.3.39) должны быть равны.

В результате приравнивания указанных коэффициентов получим систему двух алгебраических уравнений

. (2.3.40)

Из этих уравнений, используя тождество , легко находим амплитуду и сдвиг фаз вынужденных колебаний:

; (2.3.41)

. (2.3.42)

Итак, общее решение уравнения (2.3.37) имеет вид

, (2.3.43)

где произвольные постоянные инаходят из начальных условий движения.

Проведём анализ формулы (2.3.41) для амплитуды вынужденных колебаний, преобразовав её к виду

; (2.3.44)

где -коэффициент расстройки;;

-статическое отклонениеточки при действии на неё постоянной силы, равной амплитудевынуждающей силыQ.

Коэффициент динамичности

(2.3.45)

показывает, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний точки, отнесённая к её статическому отклонению. График функции называетсярезонансной кривой.

На рис. 2.3.8 представлены резонансные кривые для различных значений . Семейство кривых расположено ниже кривой, соответствующей отсутствию сопротивления. Когда частота возмущающей силы мала по сравнению с собственной частотой, коэффициент динамичности близок к единице.

В другом крайнем случае, когда частота велика по сравнению с собственной

частотой , коэффициентвесьма мал; соответственно мала и

амплитуда .

В отмеченных крайних случаях резонансные кривые сходятся очень близко, то есть сила сопротивления в этих случаях практически не влияет на величину и.

Приравнивая к нулю производную можно найти, чтодостигает максимума при значении, равным:

. (2.3.46)

Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний будет при этом равно . (2.3.47)

Однако, поскольку коэффициент весьма мал по сравнению с, то с достаточной степенью точности можно считать, что амплитуда приобретает максимальное значение при.

В этом случае , (2.3.48)

то есть наибольшее значение амплитуды вынужденных колебаний обратно пропорционально коэффициенту сопротивления .

Явление, при котором частота вынуждающей силы близка к собственной частоте, а амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения, называется резонансом.

Вопросы для самопроверки по теме 2.3

1. Какую зависимость выражает основное уравнение динамики материальной точки?

2. Напишите уравнения динамики материальной точки в векторной, координатной и естественной формах.

3. В чем заключается прямая и обратная задачи динамики материальной точки?

4. Как определяются постоянные интегрирования при решении обратной задачи динамики материальной точки?

5. Какая система отсчета называется инерциальной?

6. Сформулируйте принцип относительности классической механики.

7. Дайте определение восстанавливающей силы. Приведите примеры восстанавливающих сил.

8. Составьте дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний материальной точки и напишите его общее решение.

9. Что такое период и частота свободных колебаний?

10.Составьте дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний материальной точки и напишите его общее решение

11. Дайте определение декремента колебаний.

12. Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки.

13. Чему равна частота вынужденных колебаний?

14. Напишите формулу для амплитуды вынужденных колебаний.

15. Какие факторы влияют на величину амплитуды вынужденных колебаний?

16. Дайте определение явления резонанса.

17. Напишите формулу для амплитуды вынужденных колебаний при резонансе.

18. Решите самостоятельно задачи 27.4(27.4), 27.9(27.9), 27.16(27.16), 27.30(27.31), 32.2(32.2), 32.16(32.16), 32.36(32.35), 32.65(32.63), из [3].