2.7. Работа и энергия

В этой теме изучаются следующие понятия, теоремы и закон, знание которых необходимо в приобретении навыков решения задач динамики механической системы, используемые в прикладной механике.

1. работа силы на элементарном перемещении

2. работа силы на элементарном пути

3. работа силы на конечном пути

4. элементарная работа момента силы

5.работа момента силы на конечном повороте тела,

6. работа силы тяжести

7. работа силы упругости

8. кинетическая энергия материальной точки

9. кинетическая энергия механической системы

10. кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

11. кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское движение

12. теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме

13. теорема об изменении кинетической энергии на конечном перемещении системы

14. закон сохранения механической энергии

2.7.1. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы

Кинетической энергией материальной точкиназывается скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости . (2.7.1)

Кинетической энергией механической системыназывается арифметическая сумма кинетических энергий всех её точек

. (2.7.2)

Рассмотренные формулы для кинетической энергии содержат абсолютные скорости, измеряемые относительно инерциальной (абсолютной) системы отсчета. Однако во многих случаях движение системы полезно представить как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с центром масс и относительного движения по отношению к центру масс.

Введем в рассмотрение, кроме инерциальной системы отсчета , систему отсчета, поступательно движущуюся относительно инерциальной системы (рис.2.7.1). Абсолютная скоростьпроизвольной точкинекоторой механической системыопределится как геометрическая сумма скорости центра масси относительной скорости этой точки по отношению к центру масс(смотри тему 1.3):.

Из векторной алгебры известно, что ,.

Тогда кинетическая энергия системы будет равна

В этой формуле первое слагаемоеможно представить в виде, где- масса всей системы.

Проведем из центра масс системы радиус-векторы во все точки системы. Тогдавторое слагаемоепримет вид,

где, согласно определению (2.4.4) центра масс системы, имеем ,

радиус-вектор центра массС системы относительно самого себя, т.е. является нуль-вектором ().

Итак, второе слагаемоеобращается в ноль.

Третье слагаемое представляет собой кинетическую энергию системы в ее относительном движении по отношению к центру масс.

Окончательно получим:

. (2.7.3)

Это соотношение выражает теорему Кёнига, которая формулируется следующим образом: кинетическая энергия механической системы в абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс системы, в котором мысленно сосредоточена ее масса, и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к центру масс.