2.7.4. Работа силы тяжести и силы упругости

Определим работу силы тяжести точки на некотором ее перемещении(рис. 2.7.3). Считая это перемещение малым по сравнению с радиусом Земли, можно допустить, что модуль и направление силы тяжести точкиявляются постоянными. Выберем систему отсчета, направив осьвверх по вертикали.

Используя формулу (2.7.9) и учитывая, что проекции силы тяжести на оси координат равны

,

получим выражение для элементарной работы силы тяжести: .

Работа силы тяжести точки на конечном перемещении будет определяться определенным интегралом:. (2.7.14)

Если (точка опускается), то работа силы тяжести положительна, если(точка поднимается), то работа отрицательна.

Из формулы (2.7.14) следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории и закона движения точки по траектории. На замкнутой траектории эта работа равна нулю, так как тогда .

Определим теперь работу силыупругости , действующую на материальную точку(рис 2.7.4). Эта сила всегда направлена к положению равновесия, по модулю пропорциональна расстояниюточки от этого положения и определяется выражением:

, (2.7.15)

где - радиус-вектор точкиотносительно точки,- коэффициент жесткости упругого элемента, например пружины.

Используя формулы (2.7.8), (2.7.15) и правила дифференцирования, находим элементарную работу силы упругости

. (2.7.16)

Интегрируя равенство (2.7.16), получаем работу силы упругости на коннечном перемещении её точки приложения

. (2.7.17)

Таким образом, работа силы упругости пропорциональна разности квадратов начального и конечного отклонений точки от положения равновесия. Подобно работе силы тяжести, работа силы упругости не зависит от вида траектории и закона движения точки по траектории. На замкнутой траектории эта работа равна нулю, так как тогда .

Если работа производится пружиной, то величина в формуле (2.7.17) заменяется величинойдеформации пружины в начальном и конечном положениях.

2.7.5. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной осипод действием системы внешних сил(рис.2.7.5). Пусть одна из силприложена в точке тела, положение которой определяется радиус-вектором.

Из кинематики известно, что скорость точки вращающегося тела может быть выражена формулой . Используя правило векторной алгебры, найдем мощность приложенных к телу сил,

или, (2.7.18)

где - проекция главного моментасистемы приложенных к телу сил на ось, то есть главный момент системы сил относительно оси. Величинаносит названиевращающего момента. Таким образом, мощность системы сил, приложенных к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела и вращающего момента.

Определим теперь работу этой системы сил. Предположим, что под действием приложенных сил тело повернулось за время на угол, при этом точка телаперешла из положенияв положение. Применяя полученные выше формулы, найдем:

.

Итак, работа равна . (2.7.19)

Если вращающий момент постоянен , то работа равна произведению момента на уголповорота тела, то есть

. (2.7.20)