2.7.6. Теорема об изменении кинетической энергии

материальной точки

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точке, на этом же перемещении.

Доказательство. Движение материальной точки массойотносительно инерциальной системы отсчета описывается основным уравнением динамики:,

где - равнодействующая всех сил, действующих на точку.

Умножим обе части этого уравнения на , получим:

или.

Учитывая, что , имеем:

или, (2.7.21)

где - сумма элементарных работ всех сил на элементарном перемещенииточки.

Интегрируя левую и правую части этого уравнения в соответствующих пределах, получим:

или. (2.7.22) Здесьи- значения скорости точки в ее начальноми конечномположениях,- работа всех действующих на точку сил на перемещении.Теорема доказанав дифференциальной (2.7.21) и интегральной (2.7.22) формах.

2.7.7. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на этом перемещении.

Доказанная выше теорема справедлива для любой точки механической системы. Применяя уравнение (2.7.21) для некоторой -й точки системы, получим:.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

или . (2.7.23)

Здесь - кинетическая энергия всех точек системы.

Интегрируя выражение (2.7.23) в соответствующих пределах получим:

. (2.7.24)

Теорема доказанав дифференциальной (2.7.23) и интегральной (2.7.24) формах.

В отличие от ранее рассмотренных общих теорем динамики системы, позволяющих в какой-то мере не учитывать действие внутренних сил, последняя теорема требует учета их действия. Однако, если рассматриваемая механическая система является неизменяемой(в частности, если рассматриваетсятвердое тело), то сумма внутренних сил в этом случае равна нулю и в уравнениях (2.7.23) и (2.7.24) в правых частях остаются лишь первые слагаемые.

2.7.8. Понятие о силовом поле

Область пространства, в которой на помещённую туда материальную точку действует сила, зависящая от координаты этой точки в рассматриваемой системе отсчёта и времени, называется силовым полем. Силовые поля делятся на однородные и неоднородные, стационарные и нестационарные, потенциальные и непотенциальные Примерами силовых полей являются поля силы тяжести, силы тяготения , силы упругости, а также электрические и магнитные поля.

Если работа сил поля при движении в нем материальной точки не зависит от ее траектории, а также закона движения по этой траектории из одного положения в другое, то такое поле называется потенциальным силовым полем, а действующие в нем силы называютсяпотенциальными.

Примерами потенциальных сил являются силы тяжести и силы упругости.

Если же работа силы, действующей на точку, зависит от ее траектории, то такая сила называется непотенциальной.

К ним относятся, например, силы трения и силы сопротивления среды.

Для точки или системы, находящихся в потенциальном поле, вводится понятие потенциальной энергии , как величины, численно равной работе по перемещению точки силами поля из данного положения в так называемое нулевое положение. Это положение, в котором потенциальная энергия принимается равной нулю, выбирается произвольно.

Поскольку работа в потенциальном поле зависит только от начального и конечного положений, то после выбора нулевого положения и переноса в эту точку начала координат, потенциальная энергия будет однозначной функцией координат каждой точки системы в данном положении. Таким образом:

. (2.7.25)

Чтобы определить потенциальную энергию системы в некотором положении , надо вычислить работу сил поля, действующих на точки системы при перемещении ее из этого положения в нулевое, то есть

.(2.7.26)

Здесь - работа сил поля, приложенных к-й точке на данном перемещении.

Пусть некоторое твердое тело массы m находится в поле силы тяжести (рис. 2.7.6). Поскольку равнодействующаясил тяжести приложена к центру масс тела, то следует определять его потенциальную энергию по положению центра масс. Выберем систему отсчетас осью, направленной верти-кально вверх. Обозначим- координаты центра масстела в положе-нии. За нулевое выберем положение тела, в котором его центр масс совпа-дает с любой точкой горизонтальной плоскости. Этому положению и соответствует нулевой уровень потенциальной энергии, т.е..

В соответствии с формулой (2.7.16) при перемещении тела из положения в нулевое положение работа силы тяжести равна

.

Поэтому потенциальная энергия твердого тела в поле силы тяжести равна

. (2.7.27)

Теперь рассмотрим материальную точку, на которую действует сила упругости пружины. За нулевое положение примем положение точки, в котором деформация пружины равна нулю. Тогда в соответствии с формулой (2.7.17) при перемещении точки из данного положения в нулевое сила упругости совершит работу,

где - коэффициент жесткости пружины, а- удлинение или сжатие пружины в данном положении.

Поэтому потенциальная энергия точки в поле силы упругости равна

. (2.7.28)

Выразим работу потенциальных сил через потенциальную энергию. Для этого рассмотрим некоторые положения системы и. Так как работа сил потенциального поля не зависит от вида траекторий точек системы, то работа на перемещении системы из положенияв нулевое положение будет равна работе на перемещениичерез положение, что выразится следующим образом:

,

где и- суммы работ сил поля на перемещениях системы из положенийив нулевое положение,- сумма работ сил поля на перемещении системы из положенияв положение.

Учитывая формулу (2.7.26), получим:

. (2.7.29)

Таким образом, работа потенциальных сил равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положениях системы. При перемещении по замкнутому контуру работа этих сил обращается в нуль, так как в этом случае.