2.1.6. Пара сил и ее свойства

Парой силназывается система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на твердое тело (рис. 2.1.15).Плоскость, содержащая линии действия сил парыиназываетсяплоскостью действия сил пары. Расстояниемежду линиями действия сил пары называетсяплечом пары.

Определим значение момента пары относительно произвольного центра О.Согласно правилу параллелограмма -вектор-момент парыравен геометрической сумме моментов сил парыи, т.е.,

откуда, учитывая, что по определению пары сил , получаем

. (2.1.20)

Модуль момента пары равен

. (2.1.21)

Алгебраическое значение момента пары сил равно

, где. (2.1.22)

Момент пары считается положительным, если он стремится вращать тело против хода часовой стрелки иотрицательным, если - по ходу часовой стрелки.

Из выражений (2.1.20) и (2.1.21) видно, что вектор-момент пары перпендикулярен плоскости действия силии не зависит от положения в пространстве центраО,так как, где бы мы не выбрали центр, векторсохраняет своё значение. Таким образом, не нарушая величину и направление вектора-момента пары, плоскость действиясил пары можно параллельно переносить как угодно в пространстве.

На основе изложенного можно сформулировать следующие свойства пар. Действие пары на твердое тело не изменится, если:

1) перенести пару в плоскости ее действия в любое другое положение;

2) перенести пару в любую другую плоскость, параллельную плоскости ее действия;

3) модуль сил пары увеличить (или уменьшить) в несколько раз, а её плечо уменьшить (или увеличить) во столько же раз.

Если пары сил расположены в одной или параллельных плоскостях, то они складываются алгебраически. Если же пары сил расположены в пересекающихся плоскостях, то они складываются геометрически.

2.1.7. Пара трения качения

Втехнических задачах приходится учитывать не только трение скольжения, но и, так называемое, трение качения, мерой действия которого являетсямомент пары трения качения. Рассмотрим цилиндрический каток, лежащий на горизонтальной плоскости (2.1.16,а). Если никакие активные силы, кроме силы тяжести, на каток не действуют, то силауравновешивается нормальной реакциейопорной поверхности и каток сохраняет состояние покоя.

Приложим к катку горизонтальную силу (рис.2.1.16,б). Тогда в точке

касания Авозникнет сила трения, препятствующая скольжению катка по плоскости, а точка приложения нормальной реакциисместится относительно точкиАв сторону действия силына некоторое расстояниеh. Это объясняется тем, что, из-за деформации, каток фактически соприкасается с плоскостью по небольшой площадке с центром в точкеА. После приложения силы, нагрузка на левую половину площадки уменьшится, а на правую половину возрастёт. В итоге линия действия нормальной реакциисместится вправо и возникнет пара сил (,) с плечомhи моментом. Эта пара, препятствующая качению катка по плоскости, называется парой трения качения, а её момент- моментом трения качения.

При увеличении силы от нуля плечоhи моментвозрастают до предельных значений, при которых каток начинает катиться:

. (2.1.23)

Величина , имеющая размерность длины, называется коэффициентом трения качения; его значения определяются опытным путём и приводятся в технических справочниках. Коэффициенти моменттем меньше, чем твёрже соприкасающиеся тела и чем чище обработаны их поверхности.

После начала качения момент независимо от величины силыравен предельному значению.

2.1.8. Система сил. Главный вектор и главный момент системы сил Системой силназываютлюбую совокупность сил, действующих на тело

или механическую систему одновременно. Всякую систему сил можно привести к произвольному центру, заменив её эквивалентной системой сил. Рассмотрим приведение одной силы к данному центру,не лежащему на линии действия этой силы(метод Пуансо).

Пусть к свободному твердому телу в точкеприложена сила(рис. 2.1.17). Возьмем произвольную точку(центр приведения) и проведем через нее и силуплоскость. Приложим в центреуравновешенную систему сил,; равных по модулюи параллельных ей. Система силэквивалентна силе. С другой стороны, ее можно рассматривать как состоящую из силы, геометрически равной силе, но приложенной в центре, и пары, называемойприсоединенной. Легко видеть, что момент присоединенной парыгеометрически равен моменту силыотносительно центра:. Используя символ эквивалентности систем сил, напишем∞.

Итак, сила, приложенная в какой-либо точке тела эквивалентна равной ей силе, приложенной в произвольно выбранном центре, и паре, момент которой равен моменту данной силы относительно этого центра.

Пусть на свободное твердое тело действует система сил , рас-положенных как угодно в пространстве и приложенных в точках. Приведем все данные силы к произвольно центру. В результате получим силы,_,равные данным силам и приложенные в центреи присоеди-ненные пары. Моментыэтих присоединенных пар равны моментам данных сил относительно центра приведения:

. (2.1.24)

Складывая силы , приложенные в центрепо правилу многоугольника, получаем одну силу. Так как силыравны геометрически данным силам, то можно записать. (2.1.25)

Вектор , равный геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы сил.

Складывая присоединенные пары , получим одну пару с моментом, равным геометрической сумме моментов присоединенных пар. (2.1.26)

Учитывая (2.1.24), находим

. (2.1.27)

Вектор , равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения, называетсяглавным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, произвольную систему сил, приложенную к свободному твердому телу, можно привести к одной силе, равной главному вектору системы сил, и приложенной в центре приведения и к одной паре с моментом, равным главному моменту этой системы относительно центра приведения. Не следует отождествлять главный векторc равнодействующей, так как он заменяет систему сил в сочетании с главным моментом, в то время как равнодействующая, если она существует, одна заменяет систему сил.

При переносе центра приведения главный вектор не изменяется, а главный момент в общем случае изменяется.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Почему сила является векторной величиной?

2. Что такое инертность материальных тел?

3. Если точка не взаимодействует с другими материальными телами, то в каком состоянии она должна находиться?

4. Сформулируйте основной закон механики.

5. Разложите вектор силы по координатным осям.

6. Какой принцип механики позволяет изучать механику несвободных материальных тел?

7. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

8. Что называется моментом силы относительно оси?

9. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

10. Что называется парой сил? Чему равен момент пары?

11. Как направлен, где приложен вектор момента пары?

12. Сформулируйте свойства пары сил.

13. Как складываются пары, лежащие в одной плоскости; в пересекающихся плоскостях?

14. Определите момент пары трения качения.

15. Приведите силу к любой произвольно взятой точке твердого тела.

16. Что называется главным вектором системы сил?

17. Дайте определение главного момента произвольной системы сил относительно центра приведения.

18.Изменятся ли главный вектор и главный момент системы сил при переносе центра приведения в другое положение?