Алгоритм решения задач на применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

1.По условиюзадачи определяют состав механической системы, выявляют связь между телами, участвующими в движении, и вид движения каждого тела.

2.Для каждого тела записывают, соответствующую его виду движения, формулу кинетической энергии.

(или, или).

3. Согласно вопросузадачи выявляют тело, перемещение или скорость (линейную или угловую) которого требуется определить. Это перемещение или скорость называют искомыми.

4. Выражают скорости (в том числе угловые) всех тел системы через искомуюскорость. Для этого используют, исходя из связей между телами, геометрические или кинематические соотношения (например, мгновенный центр скоростей).

5.Для каждого тела системы записывают формулу кинетической энергии, выраженную через искомую скорость.

6. Записывают формулу кинетической энергии системы как арифметическую сумму кинетической энергии каждого тела, выраженную через искомую скорость. Путём алгебраических преобразований упрощают эту формулу и подставляют её в левую часть равенства, выражающего теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

7. Выявляют все внешние силы, действующие на каждое тело системы, и их точки приложения.

8. Выражают элементарное перемещение точки приложения каждой силы через элементарное перемещение (линейное или угловое) искомого тела, используя геометрические или кинематические соотношения (см.п.4).

9. Записывают формулу элементарной работы каждой силы, выраженную через перемещение искомого тела.

10. Находят алгебраическую сумму элементарных работ всех сил и подставляем её в правую часть равенства, выражающего теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

11. Интегрируют левую часть полученного равенства ( или), правую часть интегрируют. Из полученного равенства находят искомую скорость или искомое перемещение.

Пример 1.Грузмассойподнимается на нерастяжимом тросе, переброшенном через блокмассойи намотанном на барабанмассой(рис. 3.4.13). К барабану приложен постоянный по величине вращающий момент. Блок и барабан являются круглыми однородными цилиндрами с радиусами соответственнои. Массой троса, а также трением в опорах барабана и блока пренебречь.

Определить скорость и ускорениегрузапри подъеме его на высоту, если в начальный момент система находилась в покое.

Решение.В состав данной механической системы входят груз, движущийся поступательно, блоки барабан, вращающиеся вокруг неподвижных осейи, а также гибкий, невесомый, нерастяжимый трос.

К числу внешних сил и их моментов относятся силы тяжести груза , блока, барабана, реакции опоры блока и опоры барабана и вращающий момент.

Все силы и вращающий момент имеют постоянные значения, поэтому применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

.

При этом учитываем, что , так как в начальный момент по условию задачи система покоилась, а сумма работ внутрен-них сил на любом перемещении системы равна нулю, так как в состав системы входят твердые телаи гибкий, невесомый, нерастяжимый трос. Тогда будем иметь:. (1)

Кинетическая энергия системы равна

, (2)

где - кинетические энергии груза, блока, и барабана, соответственно равные:,,. (3)

Здесь и- угловые скорости вращения блока и барабана,,- моменты инерции блока и барабана относительно осей их вращения.

Угловые скорости иопределятся как

,, (4)

поскольку в силу нерастяжимости троса все его точки в данный момент имеют одинаковые по модулю скорости, равные скорости подъема груза .

Кроме того, предполагаем, что проскальзывание между тросом и блоком, а также между тросом и барабаном отсутствует.

Моменты инерции блока и барабана соответственно равны:

,.

Подставляя значения ,,ив формулы (3), а результат в (2), получим:

. (5)

Определим теперь работу внешних активных сил и моментов сил на перемещении системы, соответствующем подъему груза на высоту .

Вращающий момент совершает положительную работу:

. (6)

Сила тяжести груза А совершает отрицательную работу:

(7)

Выражаем угол поворота барабана С через перемещениегруза А.

Из кинематического отношения (4) получаем: ,

откуда и, следовательно,. (8)

Итак, работа внешних сил равна:

. (9)

Подставляем полученные выражения (5) и (9) в уравнение (1) :

.

Откуда находим скорость груза А:

.

Отметим также, что работы сил равны нулю, поскольку точки приложения этих силинеподвижны.

Практическое занятие №10

Метод кинетостатики (принцип Даламбера) эффективен в тех случаях, когда движение механической системы задано и требуется определить силы, под действием которых происходит движение (первая задача динамики). К таким задачам относятся задачи, в которых требуется определить реакции внешних и внутренних связей движущейся несвободной механической системы.

Алгоритм решения задач.

1. Изображают механическую систему и определяют её состав.

2. Определяют активные силы и прикладывают их к соответствующим точкам тел механической системы.

3. Используя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбрасывают связи и заменяют их действие соответствующими реакциями.

4. Прикладывают силы инерции ко всем материальным точкам системы и приводят их к главным векторам и главным моментам сил инерции отдельных твёрдых тел системы в соответствии с характером движения этих тел.

5. Составляют, используя принцип Даламбера, уравнения кинетостатики для всей системы, если определяются внешние реакции связей. Если же определяются реакции внутренних связей, то уравнения кинетостатики составляются для отдельного тела или группы тел из системы.

6. Решают совместно полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных реакций связей. В число неизвестных величин, кроме реакций связей, могут входить и кинематические характеристики движения тел системы, например ускорение.