2.3.4. Свободные гармонические колебания материальной точки

Колебанияпредставляют собой распространенный вид движения, который обладает свойством повторяемости, периодичности. Изучение колебаний имеет большое значение для многих отраслей современной и будущей техники. Разработка методов исследования колебательных процессов является предметом теории колебаний.

Задачу о прямолинейном колебательном движении материальной точки, являющуюся частным случаем обратной задачи динамики точки, можно рассматривать как введение в теорию колебаний.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки (рис. 2.3.3) под действием единственной силы, направленной в любом положении точки к неподвижному центруи пропорциональной расстояниюточки до этого центра. Проекция этой силы на осьравна:

, (2.3.15)

где - постоянная положительная величина.

Начало отсчёта xвыберем в точке, в котором; точкаОявляетсяположением равновесияточкиМ, причем силастремится вернуть точку в это положение. Поэтому силаназываетсявосстанавливающей. Примером такой силы является сила упругости пружины, в этом случае величинаназываетсякоэффициентом жесткости пружины.

Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось :

или. (2.3.16)

Разделим все члены уравнения (16) на массу точки и введя обозначение

, (2.3.17)

приведем его к виду

. (2.3.18)

В результате получили дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, часто называемоеуравнением гармонического осциллятора.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее решение этого уравнения имеет вид

, (2.3.19)

где и- произвольные постоянные интегрирования, а величина

(2.3.20)

называется циклическойилиугловой частотой, или простособственной частотой свободных гармонических колебаний.

Значения постоянных инаходятся из начальных условий движения.

Пусть при .

Дифференцируя по времени (2.3.19), получим

. (2.3.21)

Подставляя начальные условия в уравнения (2.3.19) и (2.3.21), будем иметь .

Тогда закон движения точки можно записать в форме

. (2.3.22)

Общему решению (2.3.19) с помощью простых преобразований можно придать и другую форму

, (2.3.23)

где иявляются другими постоянными интегрирования и вычисляются через постоянныеипо формулам

; . (2.3.24)

Из решения (2.3.23) следует, что под действием линейной восстанавливающей силы точка совершает гармонические колебания около положения равновесия (рис.2.3.4). Они возникают лишь за счет начального возмущения, когда значенияили, илииотличны от нуля.Амплитудасвободных колебаний определяет наибольшее отклонение точки от положения равновесия. Величинаназываетсяначальной фазойколебаний. Время, в течение которого совершается одно полное колебание, называетсяпериодомсвободных колебаний.

Поскольку период синуса равен , тофазаколебанийпо истечении временивозрастает на, то есть,

откуда имеем: . (2.3.25)

Из формул (2.3.20) и (2.3.25) следует, что собственная частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий. Это свойство называется их изохронизмом.