2.3.1. Основное уравнение динамики материальной точки в декартовых и естественных координатах

Выражением основного закона механики и аксиомы параллелограмма сил (или принципа независимости действия сил) является основное уравнение динамики материальной точки :

.(2.3.1)

С учетом формул кинематики, это уравнение может быть представлено в виде:

или . (2.3.2)

Проецируя векторное уравнение (2.3.2) на оси инерциальной декартовой системы координат, получим уравнения динамики материальной точки в декартовых координатах

. (2.3.3)

Здесь ,,- проекции ускоренияточки на оси декартовой системы координат, а- проекции равнодействующейна соответствующие оси.

Другую форму уравнений динамики точки получим проектированием уравнения (2.3.2) на естественные координатные оси: , (2.3.4)

где - проекции ускоренияточки, а- проекции равнодействующейна соответствующие естественные оси.

Отметим, что все уравнения динамики точки, рассмотренные выше, справедливы как для свободной, так и длянесвободнойточки. Во втором случае под равнодействующейпонимается сумма равнодействующих, какактивныхсил, так иреакцийсвязей (смотри тему 2.1 “Введение в динамику и статику”).В отличие от активных сил, реакции связей, как правило, неизвестны.

2.3.2. Две основные задачи динамики материальной точки

Среди множества задач, решаемых с помощью основного уравнения динамики точки, обычно выделяют задачи двух типов. К первому типу относится прямая задача: задано движение точки, найти силы, вызывающие (или сопровождающие) это движение. В этот разряд попадают, прежде всего, задачи динамики несвободной точки, в которой подлежат определению реакции связей. Второй тип составляютобратные задачи, в которых по заданным силам, приложенным к точке, требуется найти кинематические и геометрические характеристики её движения.

Решение прямой задачи достаточно просто: по заданному (тем или иным способом) движению точки находят её ускорение, подстановка которого в левую часть уравнения (2.1.6) превращает его в векторное линейное уравнение относительно искомых сил. Решение прямой задачи в конечном счёте приводит кпринципу Даламбера, лежащему в основеметода кинетостатики.

В уравнении динамики несвободной точки, записанном в виде

, (2.3.5)

где и- равнодействующие приложенных к точке активных сил и реакций связей, векторпереносят в правую часть, а полученное таким образом уравнение динамики точки(2.3.6)

после введения обозначения , (2.3.7)

где вектор называют силой инерции материальной точки, трактуется как уравнение статики точки под действием сил,и, гдеи- известные силы, аподлежит определению.

Уравнение(2.3.8)

называется уравнением кинетостатикиматериальной точки. Разумеется, ни о каком равновесии точки речь не может идти, поскольку сила инерции точки к ней не приложена. Как формальный приём подобный метод составления уравнения динамики оказывается весьма удобным.

В качестве примера рассмотрим задачу.На полу лифта, поднимающегося вверх с ускорением , находится груз массы m (рис.2.3.1). Каково давление груза на пол лифта?

Решение. К грузу приложены две силы: вес и реакция пола. Добавим к ним силу инерциигруза, направленную противоположно ускорению , т.е. вниз. Величинаравна. Уравнение кинетостатики для груза имеет вид

. (а)

Проектируем (а) на вертикальную осьy, получим

, (b)

откуда

. (с)

Искомое давление равно и противоположно реакции .

Как видно из выражения (с) оно превышает весна величину, обращающуюся в ноль при равномерном подъёме лифта, когда. Коэффициентназывается в этом случае коэффициентом динамичности.

Решение обратной задачи динамики более сложное. После подстановки в (2.1.6) выражений (или значений) заданных сил, получаем векторное дифференциальное уравнение, подлежащее интегрированию при заданных начальных условиях.

На практике уравнение (2.1.6) преобразуют к скалярной форме, проектируя его на декартовые

;;(2.3.9)

или естественные оси

;;. (2.3.10)

Если действующие на точку силы расположены в одной плоскости, то в системе (2.3.9) останутся два первых уравнения, если же силы расположены вдоль одной прямой (в случае свободной точки), то составляют только одно уравнение, например первое.

Если же по условию задачи точка неподвижна, например, полностью закреплена неподвижными связями, то уравнения динамики (2.3.9) превращаются в уравнения статики точки

;;. (2.3.11)

Рассмотрим общий ход решения обратной задачи для случая прямолинейного движения точки.

Первый этап решения – составление дифференциального уравнения дви-жения. Прямая линия, вдоль которой движется точка, принимается за ось x, направленную в сторону её движения. Начало оси помещается в начальное положение точки, т.е. в положение приt=0, точка же изображается на оси в текущем положении (,,).

Далее к точке прилагают силы, причём силы сопротивления движению направляют противоположно скорости, а восстанавливающие силы (силы упругости) – к положению статического равновесия. В проекции на ось xосновное уравнение динамики точки приобретёт вид

, где. (2.3.12)

Уравнение (2.3.12) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Его общее решение должно содержать две константы интегрирования и, т. е. имеет вид

.

Константы определяют из начальных условий: , гденачальное положение точки,её начальная скорость. Для определенияиимеем два уравнения:,

.