1.6. Сложное движение твёрдого тела

1.6.1.Сложение поступательных движений

Пусть твёрдое тело совершает движение относительно системы от-счёта, которая в свою очередь движется относительно основной сис-темы отсчёта, принимаемой за неподвижную (рис. 1.6.1). Такое движе-ние твёрдого тела называютсложным, или абсолютным по отношению к ос-новной системе отсчёта, состоящим из двух движений – относительного и переносного.

Задачей кинематики в этом случае является нахождение зависимости между основными кинематическими характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений.

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела относительно системы отсчёта , является поступательным со скоростью, и переносное движение (движение системы отсчётаотносительно основной системы) – тоже поступательное со скоростью. При поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями, поэтому тело считаем материальной точкойО₂, совершающей сложное движение. Согласно теореме о сложении скоростей точки. В нашем случае,, следовательно, абсолютная скорость тела равна

. (1.6.1)

Таким образом, у всех точек тела абсолютные скорости точек оказались одинаковыми; следовательно, при сложении поступательных движений твёрдого тела результирующее движение будет также поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений.

1.6.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Пусть твёрдое тело L вращается в системе координатвокруг осис угловой скоростью, а система координатвращается вокруг осинеподвижной системы отсчётас угловой скоростью(рис. 1.6.2).ТочкаО пересечения осейиостаётся неподвижной, поэтому движение тела будет сферическим. При этом угол нутацииостаётся постоянным, угловые скоростииобозначены соответственнои. Следовательно, в силу формул (1.5.7) и (1.5.8) абсолютная скорость произвольно выбранной точкиМ тела будет равна, (1.6.2) где, а(1.6.3)

Из формулы (1.6.3) следует, что совокупность двух вращений твёрдого тела, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему вокруг мгновенной оси ОР с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений. С течением времени осьОР непрерывно изменяет своё положение, описывая коническую поверхность с вершиной в точкеО.

Если тело участвует во вращении вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то последовательно применяя формулу (1.6.3) находят эквивалентное вращение с мгновенной угловой скоростью

. (1.6.4)

1.6.3. Сложение вращательных движений вокруг параллельных осей

Пусть тело L,закреплённое шарнирно на кривошипе, вращается вместе с системой координатвокруг осис угловой скоростьюотносительно системы отсчёта, которая в свою очередь вращается вокруг оси, совпадающей с осьюнеподвижной системы координат, с угловой скоростью. При этом осиипараллельны (рис. 1.6.3).

При таком движении тела его осьостаётся параллельной начальному положению. Следовательно, тело совершает плоскопараллельное движение, поэтому заменим его движением плоской фигурыв плоскости(рис. 1.6.4). Из вышесказанного следует, что точкафигуры движется по окружности радиуса, её абсолютная скоростьперпендикулярна этому радиусу. Поэтому мгновенный центррскоростей (МЦС) фигуры находится на прямой. Для определения положения МЦС должно быть известно направление скорости ещё одной точки, например точкиМ, абсолютная скоростькоторой складывается из переносной скоростии относительной скорости.

. (1.6.5)

Запишем формулу (1.6.5) для точки р:, (1.6.6)

где ,. (1.6.7) Пустьинаправлены в одну сторону. В этом случаеиимеют одинаковые алгебраические знаки, а проекции векторовина осьдолжны иметь, в силу равенства (1.6.6), противоположные знаки, т.е. точкар должна находиться внутри отрезка(рис. 1.6.4).

Согласно сказанному формула (1.6.6) примет вид (1.6.8)

или . (1.6.9)

Рассмотрим случай, когда угловые скорости инаправлены в противоположные стороны (рис. 1.6.5), но не равны по модулю . В этом случае, в силу равенства (1.6.8), проекции векторовина осьдолжны иметь одинаковые алгебраические знаки, т.е. точкардолжна находиться на прямой вне отрезкаи делить этот отрезок внешним образом согласно отношению (1.6.9).

Найдём скорость произвольно выбранной точки М.Пусть МЦС (точкар) делит отрезоквнутренним (рис. 1.6.4) или внешним (рис. 1.6.5) образом. Тогда независимо от образа деления отрезка равенство (1.6.5) можно записать

. (1.6.10)

Раскрывая скобки в правой части и используя формулу (1.6.6), получим

, (1.6.11)

где - мгновенная угловая скорость совокупного вращения тела, направленная по мгновенной оси, проходящей через точку рпараллельно векторамии делящей внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей.

Алгебраическое значение мгновенной угловой скорости равно: , если переноснаяи относительнаяугловые скорости направлены в одну и ту же сторону и, еслиинаправлены в противоположные стороны. Очевидно, во втором случае совокупное вращение будет направлено в сторону большей по модулю угловой скорости.

Пусть угловые скорости переносного () и относительного () движений твёрдого тела равны по модулю, но противоположно направлены, т. е.. Такая совокупность движений называетсяпарой вращений.

В этом случае формула (1.6.5) для абсолютной скорости точки Мтела примет вид

. (1.6.12)

Векторы ине зависят от положения точкиМ, поэтому из (1.6.12) вытекает, что скорости всех точек тела одинаковые. Этим свойством тело обладает только припоступательномдвижении.

Векторное произведение по аналогии с моментом пары сил называютмоментом пары вращений. Таким образом, тело, участвующее в паре вращений, движется поступательно со скоростью, равной моменту пары вращений. При этом направление вектораопределяется так же, как в статике определяется направление момента пары сил.

Примеры сложного движения рассмотрены в [1], с. 172…176.

Вопросы для самопроверки по теме 1.6

1. Каков вид движения твёрдого тела, совершающего сложные поступательные движения?

2. Как складываются угловые скорости тела, вращающегося вокруг пересекающихся в одной точке осей? Алгебраически или геометрически?

3. В каком случае абсолютная угловая скорость тела, совершающего вращения вокруг двух осей, складывается алгебраически?

4. Что называют парой вращения?