- •Теория механизмов и машин
- •Предисловие
- •Введение
- •Узкое определение машины. Машина есть устройство, действующее на основе законов механики и предназначенное для преобразования энергии, материалов и информации и перемещения изделий.
- •Раздел 1. Структура, кинематика
- •1. Структура механизмов
- •1.1. Классификация кинематических пар
- •1.2. Кинематические цепи и их классификация
- •1.3. Расчет степени подвижности механизма
- •1.4. Структурная классификация плоских механизмов
- •1.5. Замена высших пар в плоских механизмах
- •1.6. Избыточные (повторяющиеся) связи и местные подвижности в механизмах
- •1.7. Структурный синтез механизмов
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Кинематика и синтез зубчатых механизмов
- •2.1. Разновидности зубчатых передач
- •2.2. Понятие о передаточном отношении
- •2.3. Передаточное отношение простых зубчатых передач
- •2.4. Кинематика и синтез зубчатых механизмов с неподвижными осями колес
- •2.5. Кинематика механизмов планетарного типа
- •2.6. Синтез механизмов планетарного типа
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Кинематические и передаточные функции механизмов
- •3.3. Аналитический метод
- •3.4. Метод планов положений, скоростей и ускорений
- •3.5. Метод кинематических диаграмм (метод графического дифференцирования)
- •3.6. Синтез рычажных механизмов
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 2. Кинетостатика
- •4. Кинетостатика механизмов
- •4.1. Характеристика сил, действующих в машинах
- •4.2. Задачи кинетостатики
- •4.3. Расчёт сил инерции
- •4.4. Общие положения силового расчёта
- •4.5. Метод планов сил
- •4.6. Метод разложения сил
- •4.7. Аналитический метод
- •4.8. Определение уравновешивающей силы
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Трение в кинематических парах и кпд
- •5.1. Виды трения. Законы трения скольжения
- •5.2. Понятие о коэффициенте полезного действия
- •5.3. Трение в поступательной кинематической паре
- •5.4. Трение в винтовой кинематической паре
- •5.5. Трение во вращательной кинематической паре
- •5.6. Трение качения
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Динамика машин
- •6.1. Вспомогательные задачи динамики машин
- •6.2. Характеристики режимов движения машин
- •I . Неустановившийся режим
- •II. Установившийся режим
- •6.3. Формы уравнений движения машин
- •6.4. Исследование пуска машины при силах – функциях перемещений
- •6.5. Исследование установившегося неравновесного движения машины с маховиком при силах – функциях перемещений
- •6.6. Определение момента инерции маховика при внешних силах – функциях перемещений
- •6.7. Назначение маховика в машине
- •6.8. Исследование пуска машины при силах – функциях скоростей
- •6.9. Исследование устойчивости установившегося равновесного движения
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Проблемы уравновешивания и балансировки звеньев и механизмов
- •7.1. Значение проблемы уравновешивания и балансировки в машинах
- •7.2. Виды неуравновешенности вращающихся звеньев и их устранение
- •7.3. Начальные сведения об уравновешивании механизмов
- •7.4. Виброгашение и виброизоляция
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 3. Синтез элементов высших
- •8. Теория и геометрия зубчатых зацеплений
- •8.1. Элементы относительного движения звеньев высшей пары
- •8.2. Элементы зубчатых зацеплений, обусловленные их кинематикой
- •8.3. Основные качественные характеристики зацеплений
- •8.4. Эвольвента зуба колеса, её свойства и уравнение
- •8.5. Элементы зубчатого колеса
- •8.6. Элементы и свойства эвольвентного зацепления
- •8.7. Методы изготовления зубчатых колёс
- •8.8. Геометрия реечного производящего исходного контура
- •8.9. Подрез зуба колеса и его предотвращение
- •8.10. Качественные характеристики эвольвентного зацепления
- •8.11. Назначение коэффициентов смещения для нарезания зубчатых колёс
- •8.12. Типы эвольвентных колёс и передач
- •8.13. Расчёт геометрических размеров зубчатых колёс
- •8.14. Особенности зацепления эвольвентных косозубых колёс
- •8.15. Особенности зацепления конических колёс
- •8.16. Особенности зацепления в гиперболоидных передачах
- •Вопросы для самопроверки
- •9. Синтез профилей кулачков и элементов плоских кулачковых механизмов
- •9.1. Элементы кулачкового механизма и геометрические элементы кулачка
- •9.2. Разновидности плоских кулачковых механизмов
- •9.3. Кинематический анализ кулачковых механизмов
- •9.4. Понятие об ударах в кулачковых механизмах
- •9.5. Угол давления и его влияние на работоспособность кулачкового механизма
- •9.6. Связь между углом давления и геометро-кинематическими характеристиками механизма
- •9.7. Графическое определение угла давления
- •9.8. Определение радиуса основной окружности теоретического профиля кулачка
- •9.9. Определение радиуса основной окружности в механизме с плоским толкателем
- •9.10. Построение профилей вращающихся кулачков
- •Вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Раздел 1. Структура, кинематика и элементы синтеза механизмов
- •3. Кинематика и синтез механизмов с низшими кинематическими
- •Раздел 2. Кинетостатика механизмов и динамика машин
- •Раздел 3. Синтез элементов высших кинематических пар
- •9. Синтез профилей кулачков и элементов плоских кулачковых
2.6. Синтез механизмов планетарного типа
Задача синтеза заключается в подборе чисел зубьев колёс механизма, обеспечивающих заданное отношение угловых скоростей входа и выхода. Заданными величинами должны быть или передаточное отношение (в планетарном механизме), или угловые скорости (частоты вращения) – в дифференциальном механизме. Используя уравнения (а) и (б), подставляя в их левую часть заданные значения, получают величину . Так как при неподвижном водиле получается механизм с неподвижными осями колёс, то для этого механизма задача подбора чисел зубьев на данном этапе ничем не отличается от ранее изложенных методик. Особенностью синтеза является необходимость учёта условий соосности, соседства и сборки.
У с л о в и е с о о с н о с т и заключается в том, что в механизмах планетарного типа оба центральные колеса и водило должны иметь общую неподвижную ось. В схеме рис. 2.7 это условие даёт возможность записать такое равенство
.
Учитывая, что каждый радиус определяется формулой
,
можно заменить величины радиусов в приведённом выше выражении и после несложных преобразований записать
.
Таким образом, выбирая числа зубьев колёс, необходимо учитывать последнее соотношение.
У с л о в и е с о с е д с т в а заключается в необходимости такого подбора чисел зубьев, чтобы сателлиты, связанные с одним водилом, при их количестве больше двух, не задевали друг друга. В противном случае механизм не может быть собран. Для вывода соответствующей зависимости обратимся к рис. 2.12.
На рисунке показана центроидная окружность центрального колеса 1 радиуса , по которой перекатываются центроидные окружности сателлитов 2 радиусов . Показаны также окружности вершин сателлитов радиусов . Эти окружности по условию соседства не должны ни пересекаться, ни касаться друг друга. Сателлиты 2 находятся на угловом расстоянии γ (гамма) друг от друга. Так как сателлиты по окружности располагаются равномерно, то угол γ может быть определён из отношения , где K – количество сателлитов, присоединённых к одному водилу. Половина расстояния между центрами сателлитов составляет . Отрезок O1O2 представляет собой длину водила или межосевое расстояние центрального колеса 1 и сателлита 2: . Радиус окружности вершин . Условие соседства выполняется, если выполняется неравенство .
После выполнения несложных преобразований получаем окончательно
.
Если сателлит 2 представляет собой блок из двух колёс, то в это неравенство в качестве необходимо подставлять большее из них.
У с л о в и е с б о р к и заключается в возможности собираемости механизма, то есть установки сателлитов, если их количество больше одного. Ясно, что один сателлит устанавливается между центральными колёсами беспрепятственно (если сателлитов несколько, то – первый из них). Чтобы установить второй и другие сателлиты, необходимо, чтобы их зубья вступали в зацепление с зубьями центральных колёс, а не натыкались на них, иначе сборка невозможна. Для решения задачи обратимся к рис. 2.13, на котором показаны участок центрального колеса 3 с внутренними зубьями, центральное колесо 1 и два параллельно работающих сателлита 2 из нескольких, расположенных по всему пространству между центральными колёсами 1 и 3.
Обозначим количество сателлитов в механизме буквой K . Так как все колёса образуют одинаковые зацепления, то они имеют один модуль m и шаг . Все центроидные окружности, показанные на рисунке, предполагаются делительными. Длина дуги A1B1 окружности колеса 1 между точками касания этой окружности с окружностями сателлитов 2 составляет , то есть некоторое количество целых шагов и возможную часть последнего неполного шага. Если на этой дуге помещается только целое количество шагов, то . Точно так же можно записать и длину дуги A3B3 окружности колеса 3: . С другой стороны, ясно, что эти дуги, при условии равномерного расположения осей сателлитов по окружности, составляют длины на окружности колеса 1 и на окружности колеса 3. Приравнивая соответствующие выражения для колеса 1 и колеса 3, можно записать
и .
Сокращая оба выражения на p и складывая их левые и правые части, имеем
.
Левая часть полученного равенства является целым числом, поэтому правая часть должна быть также целым числом. В правой части , и K являются целыми числами, следовательно, доли шага и в сумме должны составить целое число, а именно – единицу. Так как сумма в квадратных скобках является целым числом, то её можно обозначить (от англ. integer – целое число), то есть , и окончательно записать
.
Выразив отсюда , запишем
,
что является математическим выражением условия сборки, то есть частное от деления суммы чисел зубьев центральных колёс на количество сателлитов механизма должно быть целым числом.
Необходимо иметь в виду, что данное условие пригодно только для механизмов с одинарным сателлитом или со сдвоенным, но при одном модуле обоих колёс сателлита и сопряжённых с ними колёс. Для получения математического выражения условий сборки других схем можно обратиться к литературе.
Подытоживая рассмотренные решения, запишем все математические условия, которые необходимо учитывать при синтезе зубчатых механизмов планетарного типа. Например, для схемы механизма (рис. 2.7) составляется следующая система уравнений с неравенством:
.
В заключение рассмотрим пример синтеза механизма планетарного типа, схема которого изображена на рис. 2.7. Решение приводится с привлечением компьютерного математического пакета MathCAD версии 2001i Professional (листинг 2.1). Вычислительная программа составлена в соответствии с методикой, описанной в инструкции к пакету. Так как системы уравнений решаются методом итераций, то необходимо в самом начале задать искомым переменным, в нашем случае z1, z2, z3 и K, некоторые начальные значения. Они приведены ниже подзаголовка «Начальные условия». Затем идёт блок Given, в котором приведены вышеперечисленные уравнения и неравенство, связывающие между собой числа зубьев колёс и условия, которым они должны удовлетворять в механизме. Решающий блок Find содержит перечень искомых параметров и, после знака равенства, в виде матрицы автоматически выводятся найденные значения этих параметров.
В связи с тем, что числа зубьев колёс и количество сателлитов могут быть только целыми, то полученные значения необходимо округлить до целых, то есть принять , , и Естественно, что при округлении чисел зубьев изменяется передаточное отношение, поэтому последним шагом расчёта является проверка его величины. Она показала, что результат округления не привёл к ошибке передаточного отношения.