Вопросы для самопроверки

1. Каков эффект неуравновешенности вращающихся масс в жёстких и нежёстких механических системах?

2. Каковы причины неуравновешенности вращающихся звеньев?

3. Каково воздействие неуравновешенных сил на фундамент машины?

4. Назовите и охарактеризуйте виды неуравновешенности вращающихся звеньев?

5. Как устраняется статическая неуравновешенность и статическая балансировка, динамическая неуравновешенность и балансировка?

6. Сколько противовесов требуется для статического уравновешивания, для динамического уравновешивания и почему?

7. Как осуществляется замена массы стержневого звена двумя точечными массами?

8. Как осуществляется статическое уравновешивание четырёхшарнирного механизма?

9. Какими способами осуществляется уравновешивание кривошипно-ползунного механизма?

10. Что такое самоуравновешенный механизм?

11. Как осуществляется частичное уравновешивание поступательно движущихся масс кривошипно-ползунного механизма?

12. Что такое виброгашение? В чём заключается принцип работы динамического гасителя колебаний?

13. Что такое виброизоляция? Как осуществляется защита объекта от колебаний основания?

14. Что такое коэффициент динамичности, коэффициент передачи силы?

15. При каком условии получается эффективной защита объекта от колебаний основания?

Раздел 3. Синтез элементов высших

КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР

8. Теория и геометрия зубчатых зацеплений

В этой главе изучаются: 1. Теория образования рабочих поверхностей зубьев колес, обеспечивающих постоянство передаточного отношения. 2. Свойства зубчатых зацеплений. 3. Расчёт геометрических элементов зубьев колёс.

8.1. Элементы относительного движения звеньев высшей пары

Ц е н т р о и д ы в о т н о с и т е л ь н о м д в и ж е н и и к о л ё с. Центроидой в движении одного колеса относительно другого, находящегося с ним в зацеплении, называется геометрическое место точек его мгновенного поворота относительно этого колеса.

Возьмём два зубчатых колеса, вращающихся вокруг центров O₁ и O₂ с угловыми скоростями ω₁ и ω₂ соответственно (рис. 8.1). В начальный момент окружности колёс касаются друг друга в точке П (греческая буква «пи»). Придадим обоим колёсам вращение с угловой скоростью – ω₂, противоположной угловой скорости колеса 2 и равной ей по величине. Тогда колесо 2 станет неподвижным, а колесо 1 будет перекатываться по нему, и его центр будет занимать последовательно положения O₁, O^′₁, O^′′₁,…, а точка касания окружностей будет перемещаться по окружности колеса 2, занимая положения П, П^′, П^′′,…, описывая, по существу, эту окружность. Причём окружность колеса 1 во всех своих положениях будет иметь мгновенным центром своего поворота точку П. Поэтому окружность Ц₂ колеса 2 называется центроидой колеса 1 в его движении относительно колеса 2. Рассуждая точно так же, сделаем вывод, что и окружность Ц₁ колеса 1 является центроидой колеса 2 в его движении относительно колеса 1. Индексы в обозначениях центроид указывают, в системе какого колеса находится центроида. Точка касания центроид в зацеплении называется полюсом зацепления П (пи).

О с н о в н о й з а к о н з а ц е п л е н и я (т е о р е м а В и л л и с а). Этот закон устанавливает связь между геометрией профилей зубьев и условиями передачи движения в зубчатом зацеплении (в более широком смысле – между геометрией элементов высшей пары и условиями передачи движения в механизме с высшей парой).

В озьмём две центроиды Ц₁ и Ц₂, принадлежащие колёсам 1 и 2 (рис. 8.2). Эти центроиды касаются друг друга в точке П, называемой полюсом зацепления.

Свяжем с центроидами профили Пр₁ и Пр₂ так, чтобы они касались друг друга в точке К. Относительная скорость точки К₁ профиля Пр₁ по отношению к совпадающей с ней точке К₂ профиля Пр₂, (в данный момент обе точки находятся на нормали n–n в точке K) обозначена на рис. 8.2 как V_отн. Примем во внимание следующие два положения:

1. Вектор перпендикулярен нормали, в противном случае появится составляющая относительной скорости, направленная вдоль неё. Если эта составляющая будет направлена в сторону Пр₂, то произойдёт внедрение профиля Пр₁ в профиль Пр₂, если она будет направлена в обратную сторону, то произойдёт отрыв профилей друг от друга. В обоих случаях высшая пара будет разрушена. Так что данное положение можно считать доказанным от противного.

2. Вектор перпендикулярен отрезку КП. Так как полюс П является мгновенным центром поворота центроиды Ц₁ относительно центроиды Ц₂, то, согласно положению теоретической механики, все точки, связанные с центроидой Ц₁, имеют скорости, направленные перпендикулярно отрезку, соединяющему данную точку с центром (полюсом) поворота. Это и служит доказательством перпендикулярности вектора скорости и отрезка КП. Отсюда следует, что полюс зацепления – это не только точка касания центроид, но и точка пересечения контактной нормали профилей с линией центров колёс.

Доказанные положения позволяют сделать следующий вывод. Нормаль к профилям, проведённая в точке их касания, пересекает линию центров колёс в точке, совпадающей с полюсом зацепления, и таким образом делит межосевое расстояние центроид колёс на отрезки, обратно пропорциональные их угловым скоростям,

.

Другими словами, для правильной передачи движения с помощью высшей кинематической пары необходимо обеспечить такую форму её элементов, при которой нормаль к ним в точке контакта (контактная нормаль) проходила бы через полюс зацепления.

Профили, подчиняющиеся основному закону зацепления, называются сопряжёнными.

Следствие 1. Если полюс П занимает неизменное положение на линии центров колёс, то передаточное отношение постоянно, и радиусы центроид также постоянны. Это соответствует круглым зубчатым колёсам. В противном случае колёса некруглые.

Следствие 2. Если полюс П находится между центрами колёс, то они вращаются в противоположные стороны (внешнее зацепление колёс), и передаточное отношение имеет отрицательный знак.

Следствие 3. Если полюс П находится вне отрезка О₁О₂, (выше или ниже этих центров), то колёса вращаются в одну сторону (внутреннее зацепление колёс).

Следствие 4. Относительная скорость в точке касания профилей по существу является скоростью скольжения профилей зубьев. Чем дальше от полюса находится точка касания профилей, тем больше в ней скорость скольжения. Если в процессе передачи движения точка контакта профилей совпадёт с полюсом, то в этот момент скорость скольжения будет равна нулю.

Существует большое количество профилей зубьев, удовлетворяющих этому закону. При выборе формы профилей руководствуются их технологичностью (простотой изготовления), простотой инструмента и расчетов.

П р о ф и л и з у б ь е в к а к в з а и м о о г и б а е м ы е к р и в ы е. Центроиды и один из профилей полностью определяют второй профиль. Если взять центроиды колёс Ц₁ и Ц₂ (рис. 8.3), и с центроидой Ц₁ связать профиль Пр1, то, покатив эту центроиду с данным профилем по центроиде Ц₂, получим второй профиль Пр2, принадлежащий второму колесу. На рис. 8.3 последовательное положение центроиды Ц₁ отмечено цифрами 1, 2, 3, 4, 5, а её точки касания с центроидой Ц₂ отмечены буквами П₁, П₂, П₃, П₄ и П₅. В результате такого движения профиль Пр2 получается как огибающая ряда последовательных положений профиля Пр1.

Если поменять местами центроиды, то таким же образом можно получить и профиль зуба колеса 1 с помощью заданного профиля Пр2.

На рассмотренном положении основан один из методов изготовления зубьев колёс, причём Ц₁ является центроидой инструмента, а Пр1 служит так называемым производящим исходным контуром.