8.4. Эвольвента зуба колеса, её свойства и уравнение

Образование рабочей эвольвентной поверхности зуба колеса можно представить таким образом. Пусть имеется круглый цилиндр (рис. 8.10, а) с радиусом и осью OO, который называется основным цилиндром. Введём в касание с ним плоскость P, содержащую прямую AB, расположенную параллельно образующей цилиндра.

Если покатить без скольжения плоскость P по цилиндру, то прямая AB опишет эвольвентную цилиндрическую поверхность, начинающуюся от линии A₀B₀ касания данной плоскости с цилиндром в начальный момент. В любом сечении эвольвентной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси основного цилиндра, получается окружность основания цилиндра с радиусом и эвольвента этой окружности (рис. 8.10, б). Все свойства зацепления эвольвентных колёс определяются свойствами эвольвенты окружности, поэтому далее будем рассматривать именно эту эвольвенту как профиль зубьев таких колёс.

Образование эвольвенты окружности можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги. Более строго можно сказать, что эвольвента получается как траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по выпуклой кривой, например окружности. На основании способа образования эвольвенты можно так сформулировать её свойства.

С в о й с т в а э в о л ь в е н т ы.

1. Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2. Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, то есть геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3. Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, . В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен нулю, .

4. Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью, .

5. Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6. Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

У р а в н е н и е э в о л ь в е н т ы. Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 8.11. Положение произвольной точки A_y эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиуса-вектора OA₀ (или OC₀): длиной радиуса-вектора R_y и углом θ_y. Радиус-вектор R_y определим из прямоугольного треугольника OA_yC_y:

Для определения полярного угла θ_y сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу α_y катет A_yC_y в ∆OA_yC_y:

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно , получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 8.11 угол называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, то есть inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

θ_y = invα_y.

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент α_y изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.