4.6. Метод разложения сил

М етод основан на двух известных из механики положениях, утверждающих, что, во-первых, если твёрдое тело (звено механизма) находится в равновесии под действием трёх сил, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Во-вторых, любая сила может быть разложена по правилу параллелограмма по любым двум направлениям. Кроме того, здесь учитывается принцип независимости действия сил. Задача, таким образом, заключается в нахождении точки пересечения трёх сил, действующих на какое-либо звено механизма, одна из которых является заданной внешней силой, а две другие – реакциями в кинематических парах этого звена. Направление одной из этих реакций выбирается вдоль стержневого звена рассматриваемой группы Ассура, смежного с тем, на которое действует данная сила P (рис. 4.13). Другая реакция направляется вдоль линии, соединяющей точку пересечения трёх сил с концевой парой звена, нагруженного данной силой. На указанном рисунке представлена группа Ассура в масштабе , в состав которой входят кинематические пары A с отброшенным звеном 1, внутренняя кинематическая пара B и кинематическая пара C также с отброшенным звеном 4. Звенья группы обозначены номерами 2 и 3. На звено 2, в его точке D действует сила P, от которой требуется найти реакции в кинематических парах.

Для нахождения точки K , в которой пересекаются линии действия трёх внешних сил, находящихся в равновесии, продлим линию действия силы P , затем линию звена 3 до их пересечения друг с другом в точке K. Полученную точку соединим с точкой A. Так определены линии действия реакций в парах A и C. Далее строим параллелограмм в масштабе , имея в виду, что его диагональю является заданная сила P. Это действие выполняется в соответствии с равенством . Составляющая вдоль линии её действия передаётся в точку A, где встречает реакцию со стороны звена 1. Согласно принципу равенства действия и противодействия имеет место равенство . Составляющая передаётся также вдоль линии действия в точку B и далее вдоль звена 3 в точку C, создавая реакцию со стороны отброшенного звена 4. Здесь имеет место равенство .

Что касается реакции в паре B, то она определяется равенством , и, естественно, .

С помощью метода разложения сил в каждой кинематической паре получается отдельная составляющая реакции от каждой из заданных внешних сил. На последнем этапе расчёта необходимо найти равнодействующую этих составляющих. Поэтому данный метод целесообразно применять при малом количестве внешних сил, иначе он потребует большого числа разложений и последующего расчёта суммарных реакций в каждой паре, что будет весьма громоздко.

4.7. Аналитический метод

Аналитический метод определения реакций основан на рассмотренных выше методе планов сил и методе разложения сил. Метод планов сил, как известно, относится к графоаналитическим методам. При реализации этого метода аналитически определяются тангенциальные составляющие реакций во вращательных парах групп Ассура. Однако можно продолжить аналитические расчёты, вычисляя и нормальные составляющие, не прибегая к построению плана сил. Для этого можно составить уравнение равновесия всей группы Ассура в целом в форме моментов всех сил относительно точки C (см. рис. 4.9), т. е. , в которое войдёт момент от составляющей . Получается уравнение с одним неизвестным , которое легко находится решением этого уравнения. Аналогичным образом определяется и нормальная составляющая . Для этого составляется уравнение равновесия в форме моментов, но уже относительно точки A вида . Из этого уравнения определяется . Остаётся теперь, воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислить полные реакции: и .

Через соответствующие уравнения равновесия в форме моментов можно определить и составляющие реакции в паре B.

П рименение аналитического метода к методу разложения сил можно посмотреть на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.14). Положение механизма определяется углом поворота кривошипа 1, имеющего радиус r. Шатун 2 длиной l передаёт движение от кривошипа на ползун 3. В точке B ползуна приложена внешняя сила P. Указанная точка является точкой пересечения трёх сил, действующих на ползун: силы P, реакции ползуна на шатун и ползуна на стойку 0 . Первая из указанных реакций направлена вдоль шатуна, вторая - перпендикулярно направляющим ползуна. Так что направления всех сил известны. Разложив силу P на составляющие, получаем и . Реакция передаётся через шатун в точку A в виде реакции шатуна на кривошип . Она же передаётся далее в точку O в виде реакции . Таким образом, имеем равенство .

Установим аналитическую зависимость реакций от угла . Из прямоугольного треугольника сил имеем и . Для определения угла выразим отрезок h двояким образом: , откуда получаем . Ранее в разделе кинематики механизмов было введено обозначение . Используя это обозначение, получаем . Имея необходимые исходные данные, можно получить результаты анализа в виде графиков или таблиц числовых значений реакций в зависимости от положения механизма, определяемого углом . Здесь полезно использовать программный пакет MathCAD.