8.9. Подрез зуба колеса и его предотвращение

П

Опасное сечение

одрезом зуба называется пересечение траектории точки A, лежащей на граничной прямой головок исходного контура (рис. 8.16), с эвольвентой зуба нарезаемого колеса. В результате этого происходит утонение ножки зуба в его опасном сечении при работе на изгиб (рис. 8.17) и уменьшение плавности работы передачи из-за сокращения эвольвентной части профиля зуба.

Подрез, как правило, не допускается, поэтому подрезанное колесо считается бракованным. Подрез наступает при количестве зубьев колеса, которое меньше некоторого значения, называемого минимальным числом зубьев. Для определения этого числа зубьев обратимся к рис. 8.18.

Если число зубьев нарезаемого колеса достаточно велико, , то конец N' теоретической линии зацепления при нарезании располагается выше граничной прямой головок инструмента, и подрез отсутствует. Если число зубьев нарезаемого колеса мало , то конец N'' теоретической линии зацепления расположен ниже граничной прямой головок, и подрез есть. Наконец, если граничная прямая головок проходит точно через границу теоретической линии зацепления, то подреза ещё нет, то есть имеет место некое пограничное состояние. Число зубьев колеса, соответствующее этому состоянию, равно минимальному, то есть . Выразим отрезок KП на межосевой линии двояким образом. С одной стороны он равен , с другой, последовательно рассматривая треугольники ПКN и ПОN, имеем

,

или

.

Приравнивая правую часть полученного выражения к и, решая новое равенство относительно , получаем

.

Стандартным параметрам исходного контура соответствует = 17.

При необходимости изготовления колеса с числом зубьев, меньшим минимального, и предотвращения подреза следует инструментальную рейку сместить от центра колеса на такую величину, при которой её граничная прямая головок пройдёт через точку N линии зацепления (рис. 8.19). Определим необходимую величину смещения. Согласно рис. 8.19, имеем с одной стороны

,

и с другой стороны

или

.

Так как , то, приравнивая правые части этих выражений и заменив на , после несложных преобразований находим искомый коэффициент смещения

.

Для стандартных размеров исходного контура , поэтому получаем: . Вычисленный по этой формуле положительный коэффициент смещения даёт ответ на вопрос, какая величина смещения инструмента от центра колеса требуется для предотвращения подреза. Отрицательный коэффициент укажет на допустимое смещение инструмента к центру колеса, при котором не будет подреза.

8.10. Качественные характеристики эвольвентного зацепления

К о э ф ф и ц и е н т п е р е к р ы т и я. Как было сказано выше (см. рубрику 8.3), коэффициентом перекрытия называется отношение дуги зацепления к шагу. То и другое берётся по центроидной окружности. Применительно к эвольвентному зацеплению это отношение можно заменить отношением дуги зацепления по основной окружности к шагу по той же окружности. Основанием для такой замены служит положение о том, что если разделить числитель и знаменатель на радиус начальной окружности, то отношение не изменится. Отношение дуги зацепления к радиусу даст угол поворота зуба от начала до конца его контакта с соответствующим зубом другого колеса. Отношение шага к радиусу даст угловой шаг . Отношение дуги зацепления по основной окружности к радиусу этой окружности равно тому же углу поворота зуба, а отношение основного шага к радиусу основной окружности также равно угловому шагу . На основании свойств эвольвенты дуговым величинам на основной окружности равны соответствующие отрезки линии зацепления. Тогда коэффициентом перекрытия можно назвать отношение длины активной линии зацепления к основному шагу зубчатого колеса. В эвольвентном зацеплении он обозначается и определяется отношением

.

О бычно величина коэффициента перекрытия заключена между 1 и 2, при этом минимальное значение не должно быть меньше 1,1. Схематически соотношение между длиной активной линии зацепления и основным шагом показано на рис. 8.20. Точка контакта профилей зубьев перемещается вдоль активной линии зацепления от точки H₁ к точке H₂. Основной шаг короче активной линии зацепления, поэтому в пределах этой линии работают то одна, то две пары зубьев. Если отложить, как показано на рис. 8.20, основной шаг от точек H₁ и H₂, то отрезок H₁H₂ будет разделён на три части. Две крайние части соответствуют зонам двухпарного зацепления зубьев, а средняя – зоне однопарного зацепления. Чем короче средняя зона, тем плавнее работает зубчатая передача, так как суммарная длина двух крайних участков становится длиннее. Данной формулой можно воспользоваться, если вычерчена картина зацепления пары колёс, на которой можно измерить отрезок H₁H₂ и затем вычислить . Однако при отсутствии картины зацепления отрезок не измеришь и коэффициент перекрытия вычислить нельзя. Поэтому необходимо получить расчётную формулу, по которой можно рассчитать , используя другие данные. Обратимся к рис. 8.21, на котором показаны все элементы, необходимые для получения расчётной формулы. Активная линия зацепления H₁H₂ выделена жирной линией. Из окружностей колёс здесь показаны только окружности вершин и отмечены их радиусы и . Отмечены также радиусы основных окружностей и . И, наконец, указаны угол зацепления и профильные углы эвольвенты первого колеса на вершине зуба и эвольвенты второго колеса также на вершине зуба. Сразу же отметим, что указанные профильные углы легко определяются из прямоугольных треугольников O₁N₁H₂ и O₂N₂H₁. Из первого треугольника находим , из второго треугольника находим .

Далее выразим длину отрезка H₁H₂ следующим образом:

.

В этом выражении , ,

и .

Подставив вместо H₁H₂ найденные значения слагаемых правой части, записываем

.

Заменим радиусы и соответствующими выражениями и, подставив их в полученную формулу, после сокращений находим

.

Заменив радиусы и их выражениями через модуль и числа зубьев, а затем, поделив числитель и знаменатель на модуль , окончательно получаем

.

У д е л ь н о е с к о л ь ж е н и е. Удельным скольжением называется отношение скорости скольжения профилей в точке их касания к скорости перемещения точки касания по профилю. Этот показатель характеризует износ боковых (рабочих) поверхностей зубьев в результате трения скольжения. Об этом было сказано в рубрике 8.3. Там же было определено, что удельное скольжение описывается двумя математическими выражениями, относящимися к разным колёсам:

и .

Д ля определения тангенциальных составляющих скоростей обратимся к рис. 8.22. Соединим точку К₁ профиля зуба колеса 1 с центром О₁ вращения этого колеса радиусом R₁, и точку К₂, совпадающую с точкой К₁, с центром О₂ радиусом R₂. Перпендикулярно радиусу R₁ в сторону вращения колеса 1 отложим абсолютную скорость точки К₁, равную , и перпендикулярно радиусу R₂ в сторону вращения колеса 2 отложим абсолютную скорость точки К₂, равную . Отметим угол β₁ между радиусом R₁ и перпендикуляром O₁N₁ к линии зацепления и β₂ – между радиусом R₂ и перпендикуляром О₂N₂ также к линии зацепления. Спроецируем скорости и на линию зацепления N₁N₂. Линия зацепления направлена по нормали к профилям зубьев, поэтому проекции скоростей на неё являются нормальными составляющими, равными друг другу. Составляющие, направленные перпендикулярно линии зацепления, действуют по касательной к профилям и являются тангенциальными составляющими. Они определяются следующими цепочками равенств

^{, .}

C учётом этого ранее записанные выражения примут следующий вид:

, .

В этих выражениях буквой К обозначены совпадающие друг с другом точки К₁ и К₂.

Схематический график удельного скольжения показан на рис. 8.23.

Г рафик показывает, что удельное скольжение на голов-ках зубьев меньше, чем на ножках, следовательно, ножки изнашиваются интенсивнее, чем головки. Характер износа таков, что чем дальше от полюса в радиальном направлении нахо-дится зона профиля, тем больше она изнашивается. В полюсе зацепления износ от скольжения равен нулю, так как эта точка является мгновенным центром поворота одного колеса относи-тельно другого, и точки профи-лей, попадающие в полюс, имеют радиус относительного вращения вокруг полюса, равный нулю.

К о э ф ф и ц и е н т у д е л ь н о г о д а в л е н и я. Коэффициентом удельного давления называется отношение модуля зацепления к приведённому радиусу кривизны профилей зубьев в точке их контакта. Этот коэффициент применяется при расчёте зубьев на контактную прочность. Формула Герца для расчёта контактных напряжений в контакте двух цилиндров имеет вид

где – нормальное усилие, сжимающее цилиндры, – приведённый модуль упругости, – длина контактной линии цилиндров, – приведённый радиус кривизны цилиндров.

Умножив числитель и знаменатель формулы на модуль , не изменим результат, а формула Герца приобретёт следующий вид

где представляет собой коэффициент удельного давления.

На основании свойств эвольвенты радиусы кривизны профилей равны:

; , поэтому окончательно формула получится в виде

.

Примерный вид графика коэффициента удельного давления в зависимости от положения точки контакта на линии зацепления показан на рис. 8.24.

Минимальное значение коэффициента q_min получается в центральной точке графика, то есть при . Это значение составляет величину

.