Загальним показником швидкості зміни явища в часу є середній абсолютний приріст ( ).

Цей показник дає можливість установити, наскільки в середньому за одиницю часу повинен збільшуватися рівень ряду (в абсолютному вираженні), щоб, відправляючись від початкового рівня за дане число періодів (наприклад, років), досягти кінцевого рівня. Визначальною властивістю цікавого нас показника середнього абсолютного приросту при такій постановці завдання є загальний абсолютний приріст за весь період, обмежуючий ряд динаміки. Для його визначення скористаємося формулою:

Так, для умов нашого приклада (див. табл.10.5) середній абсолютний приріст дорівнює 29,5 тис. м³ [(407-289)/4].

Зведеною узагальненою характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки служить середній темп росту, що показує, у скільки разів у середньому за одиницю часу змінився рівень динамічного ряду.

Необхідність числення середнього темпу росту виникає внаслідок того, що темпи росту з року в рік коливаються. Крім того, середній темп росту часто варто визначити в тих випадках, коли є дані про рівень на початку якогось періоду і наприкінці його, а проміжні дані відсутні.

Звичайно середній темп росту обчислюється по формулі середньої геометричної з ланцюгових коефіцієнтів росту:

,

де - індивідуальні (ланцюгові) темпи росту (у коефіцієнтах);

n - число індивідуальних темпів росту.

Так, за даними табл.10.5 середній темп росту дорівнює:

або 108,9%.

Середній темп приросту не може бути визначений безпосередньо на основі послідовних темпів приросту або показників середнього абсолютного приросту. Для його обчислення необхідно спочатку знайти середній темп росту, а потім зменшити його на одиницю, або 100%:

.

4. Методи аналізу основної тенденції (тренду) у рядах динаміки

Після того як установлена наявність тенденції в ряду динаміки, відбувається її опис за допомогою методів згладжування.

Методи згладжування розділяються на дві основні групи:

1) згладжування або механічне вирівнювання окремих членів ряду динаміки з використанням фактичних значень сусідніх рівнів;

2) вирівнювання з застосуванням кривої, проведеної між конкретними рівнями таким чином, щоб вона відображала тенденцію, властивої ряду, і одночасно звільнила його від незначних коливань.

Роздивимося кожний із них.

Метод усереднення по лівій і правій половині. Розділяють ряд динаміки на дві частини, знаходять для кожній із них середнє арифметичне значення і проводять через отримані точки лінію тренда на графікові.

Метод укрупнення інтервалів. Якщо розглядати рівні економічних показників за короткі проміжки часу, то в силу впливу різноманітних чинників, що діють у різних напрямках, у рядах динаміки спостерігається зниження і підвищення цих рівнів. Це мішає бачити основну тенденцію розвитку досліджуваного явища. Тому для наочного уявлення тренда застосовується метод укрупнення інтервалів, заснований на укрупненні періодів часу, до яких відносить рівні ряду. Наприклад, ряд щодобового випуску продукції заміняється рядом місячного випуску продукції і т.д.

Метод простої ковзної середньої. Згладжування ряду динаміки за допомогою ковзної середньої полягає в тому, що обчислюється середній рівень із визначеного числа перших один по одному рівень із такого ж числа рівнів, починаючи з другого, далі - починаючи з третього і т.д. Таким чином, при розрахунках середнього рівня як би "сковзають" по ряду динаміки від його початку до кінця, щораз відкидати один рівень на початку і добавляти один наступний . Звідси назва - ковзна середня.

Кожна ланка ковзної середньої - це середній рівень за відповідний період, що відноситься до середини обраного періоду.

Для кожного конкретного ряду динаміки алгоритм розрахунку ковзної середньої наступний:

1. Визначити інтервал згладжування, тобто число вхідних у нього рівнів т (т n);

2. Обчислити середнє значення рівнів, що утворять інтервал згладжування, по простої середньої арифметичної за умови, що т - нечетне число. Якщо число членів четне, то, щоб знайти ковзну середню, застосовують засіб центрування. Центрування полягає в перебуванні середньої з двох суміжних ковзних середніх для віднесення отриманого рівня до визначеної дати. При центруванні необхідно знаходити ковзні середні не центровані по цих сумах і середні з двох суміжних не центрованих ковзних середніх.

3. Зрушити інтервал згладжування на одну точку вправо, потім обчислити по формулі простий середньої арифметичної згладжене значення для одного члена, знову зробити зсув і т.д. У результаті послідовного застосування приведеної ітеративної процедури утвориться п-(т-1)нових згладжених рівнів.

Метод простий ковзної середньої цілком правильний, якщо графічне зображення ряду динаміки нагадує пряму лінію. Проте, коли тренд вирівнюємого ряду має вигини і до того ж бажано зберегти дрібні хвилі, більш надійним є використання зваженої ковзної середньої.

Покажемо розрахунок 5 - річної і 4 - річної ковзних середніх на прикладі даних табл.10.6. Як бачимо, що сковзає середня дає більш-менш плавна зміна рівнів (мал.10.1 -10.2).

Таблиця 10.6

Згладжування врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р. методом ковзної середньої

Рік	Центнерів із 1 га	Ковзні п'ятилітні суми	П'ятилітні ковзні середні	Ковзні чотирирічні суми	Чотирирічні ковзні середні (не центровані)	Чотирирічні ковзні середні (центровані)
1 985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	9,5 13,7 12,1 14,0 13,2 15,6 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9	- - 62,5 68,6 70,3 72,2 75,8 78,0 73,5 75,4 76,4 77,3 76,1 80,1 - -	- - 12,5 13,7 14,1 14,4 15,2 15,6 14,7 15,1 15,3 15,5 15,2 16,0 - -	- 49,3 53,0 54,9 58,2 58,2 62,5 62,4 57,9 61,4 58,8 61,9 65,2 62,6 - -	- 12,3 13,2 13,7 14,6 14,6 15,7 15,6 14,5 15,3 14,7 15,5 16,3 15,65 - -	- - 12,8 13,5 14,1 14,6 15,1 15,6 15,0 14,9 15,0 15,1 15,8 15,97 - -

Мал.10.1. Динаміка врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р.

Мал.10.2. Динаміка врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р.

Вибір рівняння тренда, що відображає розвиток соціально-економічних явищ у часу. Для відображення основної тенденції розвитку явищ у часу застосовуються різноманітні рівняння, поліном різного ступеня, експоненти, логістичні криві й інші функції.

Поліном мають наступний вид:

• поліном першого ступеня = а₀ + а₁ t;

• поліном другого ступеня = а₀ + а₁ t + а₂ t²;

• поліном третього ступеня = а₀ + а₁ t + а₂ t² + а₃ t³;

• поліном n-го ступеня = а₀ + а₁ t + ... р + а_п t^п,

де а₀, а₁, а₂, ... , а_п - параметри поліном;

t - умовне позначення часу.

У статистичній практиці параметри поліномів невисокого ступеня іноді мають конкретну інтерпретацію характеристик динамічного ряду Так, параметр а₀ трактується як характеристика середній ряду динаміки, параметри а₁, а₂, а₃ - зміна прискорення.

Окремі рівняння виражають різноманітні - типи динаміки. Монотонне зростання або убування процесу характеризують функції: 1) лінійна; 2)параболічна; 3)статечна; 4) експоненціальна проста (показова) і похідна від неї логарифмічна лінійка; 5) складна експоненціальна і похідна від неї логарифмічна парабола; 6) гіперболічна (головним чином убутних процесів); 7) комбінація їхніх видів.

Для вибору рівняння можна скористатися формулою стандартної помилки

,

де р - число параметрів рівняння,

або застосувати критерій найменшої суми квадратів відхилень емпіричних рівнів від теоретичних

.

З множини можливих рівнянь тренда можна вибрати те рівняння, якому відповідає мінімальне значення, тобто критерій найменших квадратів відхилень, або використовувати формулу середньої помилки апроксимації:

.

Всі ці характеристики мають той самий зміст: показують, як близько аналітична функція вирівнювання обгинає всі значення вихідного ряду. Тому, проводячи порівняльну оцінку моделей тренда, можна використовувати лише одну з перерахованих характеристик. Результати такої оцінки, отримані на основі інших характеристик, як правило, збігаються. Найбільше часто в якості міри точності апроксимації вибирають залишкову дисперсію або залишкове квадратичне відхилення.

Розрахунок параметрів поліному різноманітними методами. Після того як вияснен характер кривої розвитку, необхідно визначити її параметри. Елементарний метод визначення параметрів рівняння тренда, описаного поліномом або експонентою, складається в рішенні системи рівнянь по відомих рівнях ряду динаміки. Якщо, наприклад, даний ряд динаміки, подано табл.10.7, то, прийнявши умовні позначення часу через t і пропозицію взяти дві точки - кінцевий і початковий рівні, можна побудувати рівняння прямої по цим двох точках.

Таблиця 10.7